Operações com números complexos

Somar, subtrair, multiplicar e dividir são as principais operações entre números com parte imaginária. Aprenda como calcular!

Por Elainy Marciano Publicado em 02/07/2020 - 16:57

Os números complexos são números formados por um número real e um número imaginário. Na forma algébrica, um número complexo $\dpi{120} \boldsymbol{z}$ é escrito como:

$\dpi{120} \boldsymbol{z = a + bi}$

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Em que $\dpi{120} \boldsymbol{a}$ e $\dpi{120} \boldsymbol{b}$ são números reais, $\dpi{120} \boldsymbol{a}$ é chamado de parte real, $\dpi{120} \boldsymbol{b}$ de parte imaginária e $\dpi{120} \boldsymbol{i}$ de unidade imaginária.

O valor da unidade imaginária é $\dpi{120} \sqrt{-1}$ , isto é:

$\dpi{120} i = \sqrt{-1}$

Consequentemente, temos:

$\dpi{120} i^2 = (\sqrt{-1})^2 = -1$

Essa segunda relação é muito utilizada em operações que envolvem números complexos.

A seguir, vamos mostrar como realizar operações com números complexos. Para isso, vamos considerar dois números complexos $\dpi{120} \boldsymbol{z_1 = a + bi}$ e $\dpi{120} \boldsymbol{z_2 = c + di}$ .

Adição de números complexos

Na adição de números complexos, devemos somar parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária.

$\dpi{120} \boldsymbol{z_1 + z_2}$

$\dpi{120} = (a+bi) + (c+di)$

$\dpi{120} = a+bi + c+di$

$\dpi{120} = a+c+bi+di$

$\dpi{120} \boldsymbol{= (a+c)+(b + d)i}$

Exemplos:

a) $\dpi{120} (4 + 2i) + (2 + 3i) = (4 + 2) + (2 + 3)i = 6 + 5i$

b) $\dpi{120} (1 - 2i) + (7 + 4i) = (1 + 7) + (-2 + 4)i = 8 + 2i$

c) $\dpi{120} (5 + i) + (5 - i) = (5 + 5) + (1 -1)i = 10$

d) $\dpi{120} (40 + 9i) + (-40 + 9i) = (40 -40) + (9 + 9)i = 18i$

Subtração de números complexos

A subtração de números complexos é semelhante à adição, devemos subtrair parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária.

$\dpi{120} \boldsymbol{z_1 - z_2}$

$\dpi{120} = (a+bi) - (c+di)$

$\dpi{120} = a+bi - c-di$

$\dpi{120} = a-c+bi-di$

$\dpi{120} \boldsymbol{= (a-c)+(b - d)i}$

Exemplos:

a) $\dpi{120} (4 + 2i) - (2 + 3i) = (4 - 2) + (2 - 3)i = 2 -i$

b) $\dpi{120} (1 - 2i) - (7 + 4i) = (1 - 7) + (-2 - 4)i = -6 - 6i$

c) $\dpi{120} (5 + i) - (5 - i) =(5 - 5) + (1 +1)i = 2i$

d) $\dpi{120} (40 + 9i) - (-40 + 9i) = (40 +40) + (9 - 9)i = 80$

Multiplicação de números complexos

Na multiplicação de números complexos, devemos multiplicar cada termo do primeiro fator por cada termo do segundo fator.

$\dpi{120} \boldsymbol{z_1 \cdot z_2}$

$\dpi{120} = (a+bi) \cdot (c+di)$

$\dpi{120} = ac +adi +cbi + bdi^2$

$\dpi{120} = ac +adi +cbi + bd(-1)$

$\dpi{120} = ac +adi +cbi - bd$

$\dpi{120} \boldsymbol{= (ac - bd)+(ad +cb)i}$

Exemplos:

a) $\dpi{120} (2 + 4i)\cdot (3 + 2i) = (2\cdot 3 -4\cdot 2) + (2\cdot 2 + 3\cdot 4)i = (6 - 8) + (4 + 12)i = -2 + 16 i$

b) $\dpi{120} (3 - 2i)\cdot (2 + 5i) = (3\cdot 2 +2\cdot 5)+(3\cdot 5-2\cdot 2)i = (6 +10) +(15 - 4)i = 16 +11i$

Divisão de números complexos

Na divisão de números complexos, devemos multiplicar o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor.

Lembrando que para encontrar o conjugado de um número complexo, basta trocar o sinal da parte imaginária.

$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{z_1}{z_2}}$

$\dpi{120} \boldsymbol{=\frac{z_1}{z_2}\cdot \frac{\bar{z_2}}{\bar{z_2}}}$

$\dpi{120} =\frac{a+bi}{c+di}\cdot \frac{c-di}{c-di}$

$\dpi{120} =\frac{(a+bi)\cdot (c-di)}{(c+di)\cdot (c-di)}$

$\dpi{120} = \frac{(ac + bd)+(bc - ad)i}{c^2 \cancel{-cdi} \cancel{+cdi} - d^2i^2}$

$\dpi{120} \boldsymbol{= \frac{(ac + bd)+(bc - ad)i}{c^2 + d^2}}$

Exemplos:

a) $\dpi{120} (5 + 3i):(2 + 4i) = \frac{(5\cdot 2+3\cdot 4)+(3\cdot 2-5\cdot 4)i}{2^2 + 4^2} = \frac{22 -14i}{20} = \frac{11}{10}- \frac{7}{10}i$

b) $\dpi{120} (9-2i):(6+i) = \frac{(9\cdot 6-2\cdot 1)+(-2\cdot 6-9\cdot 1)i}{6^2+1^2} = \frac{52 -21i}{37} = \frac{52}{37}- \frac{21}{37}i$

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