Teorema das raízes racionais

Aprenda a determinar raízes de equações polinomiais de grau maior que 2, a partir do teorema das raízes racionais.


O teorema das raízes racionais é um teorema que permite determinar as possíveis raízes de uma equação polinomial com coeficientes inteiros.

A partir da lista de possíveis raízes, podemos testar os valores na equação e dizer quais são zeros ou não da equação.

Teorema das raízes racionais

Considere uma equação polinomial do tipo:\dpi{120} \mathbf{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+...+ a_2x^2 + a_1x+a_0 = 0}

Com todos os coeficientes sendo números inteiros e com \dpi{120} \mathbf{a_n \neq 0} e \dpi{120} \mathbf{a_0\neq 0}.

Teorema das raízes racionais: as possíveis raízes racionais dessa equação polinomial serão da forma \dpi{120} \mathbf{\frac{p}{q}}, sendo \dpi{120} \mathbf{p} um divisor de \dpi{120} \mathbf{a_0}\dpi{120} \mathbf{q} um divisor de \dpi{120} \mathbf{a_n} e  \dpi{120} \mathbf{p} \dpi{120} \mathbf{q} números primos entre si.

Exemplo: Encontrar as raízes da equação 2x³ + 8x² + 2x – 12 = 0.

Temos \dpi{120} \mathrm{a_0 = -12} e \dpi{120} \mathrm{a_n = 2}. Então, começamos por determinar todos os divisores, positivos e negativos, desses dois números.

D(-12) = {-12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12}

D(2) = {-2, -1, 1, 2}

Agora, dividimos cada divisor de -12 por cada divisor de 2, simplificando cada quociente o máximo possível (para obter números primos entre si).

Os candidatos a raízes da equação são:

{-12, -6, -4, -3, -2, -3/2, -1, 1, 3/2, 2, 3, 4, 6, 12}

Agora, começamos a fase de testes, substituindo cada número da lista na equação. Se o resultado for igual a zero, então, o número é uma raiz.

2x³ + 8x² + 2x – 12 = 0

Para x = -12

2(-12)³ + 8(-12)² + 2(-12) – 12 = – 2340

→ Não é raiz.

Para x = -6

2(-6)³ + 8(-6)² + 2(-6) – 12 = -168

→ Não é raiz.

Para x = -4

2(-4)³ + 8(-4)² + 2(-4) – 12 = -20

→ Não é raiz.

Para x = -3

2(-3)³ + 8(-3)² + 2(-3) – 12 = 0

→ É raiz!

Veja que encontramos uma raiz da equação (-3). Agora, podemos seguir testando os demais números ou, então, dividir o polinômio 2x³ + 8x² + 2x – 12 por (x + 3).

Fazendo a divisão de polinômios, obtemos como quociente o polinômio 2x² + 2x – 4,o que significa que:

2x³ + 8x² + 2x – 12 = (x + 3) . (2x² + 2x – 4)

Sendo 2x² + 2x – 4 = 0 uma equação do 2º grau, suas raízes podem ser encontradas a partir da fórmula de Bháskara.

As raízes são 1 e -2, logo, temos:

2x³ + 8x² + 2x – 12 = (x + 3) . (x + 2) . (x – 1)

Ou seja, as raízes de 2x³ + 8x² + 2x – 12 = 0 são -3, -2 e 1.

Observação:

Veja a equação inicial 2x³ + 8x² + 2x – 12 = 0 pode ser toda dividida por 2, obtendo a equação x³ + 4x² + x – 6 = 0.

As duas equações são equivalentes, mas é mais fácil determinar as raízes considerando essa nova equação, pois, veja que \dpi{120} \mathrm{a_n = 1} e, assim, a lista de números candidatos terá menos números e nenhum será uma fração.

Sugerimos, como exercício, que utilize o teorema considerando essa equação e veja que os mesmos resultados podem ser obtidos mais rapidamente.

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