Teorema das raízes racionais
Aprenda a determinar raízes de equações polinomiais de grau maior que 2, a partir do teorema das raízes racionais.
O teorema das raízes racionais é um teorema que permite determinar as possíveis raízes de uma equação polinomial com coeficientes inteiros.
A partir da lista de possíveis raízes, podemos testar os valores na equação e dizer quais são zeros ou não da equação.
Teorema das raízes racionais
Considere uma equação polinomial do tipo:
Com todos os coeficientes sendo números inteiros e com e .
Exemplo: Encontrar as raízes da equação 2x³ + 8x² + 2x – 12 = 0.
Temos e . Então, começamos por determinar todos os divisores, positivos e negativos, desses dois números.
D(-12) = {-12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(2) = {-2, -1, 1, 2}
Agora, dividimos cada divisor de -12 por cada divisor de 2, simplificando cada quociente o máximo possível (para obter números primos entre si).
Os candidatos a raízes da equação são:
{-12, -6, -4, -3, -2, -3/2, -1, 1, 3/2, 2, 3, 4, 6, 12}
Agora, começamos a fase de testes, substituindo cada número da lista na equação. Se o resultado for igual a zero, então, o número é uma raiz.
2x³ + 8x² + 2x – 12 = 0
Para x = -12
2(-12)³ + 8(-12)² + 2(-12) – 12 = – 2340
→ Não é raiz.
Para x = -6
2(-6)³ + 8(-6)² + 2(-6) – 12 = -168
→ Não é raiz.
Para x = -4
2(-4)³ + 8(-4)² + 2(-4) – 12 = -20
→ Não é raiz.
Para x = -3
2(-3)³ + 8(-3)² + 2(-3) – 12 = 0
→ É raiz!
Veja que encontramos uma raiz da equação (-3). Agora, podemos seguir testando os demais números ou, então, dividir o polinômio 2x³ + 8x² + 2x – 12 por (x + 3).
Fazendo a divisão de polinômios, obtemos como quociente o polinômio 2x² + 2x – 4,o que significa que:
2x³ + 8x² + 2x – 12 = (x + 3) . (2x² + 2x – 4)
Sendo 2x² + 2x – 4 = 0 uma equação do 2º grau, suas raízes podem ser encontradas a partir da fórmula de Bháskara.
As raízes são 1 e -2, logo, temos:
2x³ + 8x² + 2x – 12 = (x + 3) . (x + 2) . (x – 1)
Ou seja, as raízes de 2x³ + 8x² + 2x – 12 = 0 são -3, -2 e 1.
Observação:
Veja a equação inicial 2x³ + 8x² + 2x – 12 = 0 pode ser toda dividida por 2, obtendo a equação x³ + 4x² + x – 6 = 0.
As duas equações são equivalentes, mas é mais fácil determinar as raízes considerando essa nova equação, pois, veja que e, assim, a lista de números candidatos terá menos números e nenhum será uma fração.
Sugerimos, como exercício, que utilize o teorema considerando essa equação e veja que os mesmos resultados podem ser obtidos mais rapidamente.
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