Transformações trigonométricas

Veja as fórmulas do seno, cosseno e tangente da adição e subtração de dois arcos, e multiplicação e divisão de um arco por dois.

As principais transformações trigonométricas consistem na adição e subtração de dois arcos, e multiplicação e divisão de um arco por dois, ou seja, o dobro e a metade de um arco.

A seguir, apresentamos as fórmulas do seno, cosseno e tangente para essas transformações.

Soma de dois arcos

Seno da soma de dois arcos

\dpi{120} \mathbf{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta}) = sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} + sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}

Cosseno da soma de dois arcos

\dpi{120} \mathbf{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta}) = cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} - sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}
Tangente da soma de dois arcos
\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha + \beta}) = \frac{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta})}{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta})} = \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\beta}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\beta}}}

Como não existe divisão por zero, é necessário ter \dpi{120} cos(\alpha + \beta)\neq 0 , ou seja, a fórmula acima vale para\dpi{120} \alpha + \beta \neq \pi/2 + k \pi, k\in \mathbb{Z}.

Subtração de dois arcos

Seno da subtração de dois arcos

\dpi{120} \mathbf{sen(\boldsymbol{\alpha - \beta}) = sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} - sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}

Cosseno da subtração de dois arcos

\dpi{120} \mathbf{cos(\boldsymbol{\alpha - \beta}) = cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} + sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}
Tangente da subtração de dois arcos
\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha - \beta}) = \frac{sen(\boldsymbol{\alpha - \beta})}{cos(\boldsymbol{\alpha - \beta})} = \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} - tan\, \boldsymbol{\beta}}{1 + tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\beta}}}

Como não existe divisão por zero, é necessário ter \dpi{120} cos(\alpha - \beta)\neq 0 , ou seja, a fórmula acima vale para \dpi{120} \alpha - \beta \neq \pi/2 + k \pi, k\in \mathbb{Z}.

Arco duplo

Considerando \dpi{120} \beta = \alpha nas fórmulas de soma de dois arcos, obtém-se as fórmulas do arco duplo, pois, veja que \dpi{120} \alpha + \beta =\alpha + \alpha = 2\alpha.

Seno do arco duplo

\dpi{120} \mathbf{sen(2\boldsymbol{\alpha})= 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }

Cosseno do arco duplo

\dpi{120} \mathbf{cos(2\boldsymbol{\alpha})= cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sen^2\, \boldsymbol{\alpha} }

Tangente do arco duplo

\dpi{120} \mathbf{tan(2\boldsymbol{\alpha})= \frac{2\cdot tan\, \boldsymbol{\alpha} }{1 - tan^2\, \boldsymbol{\alpha}}}

Para \dpi{120} \alpha\neq \pi /4 + k \pi, k\in \mathbb{Z}.

Arco metade

O arco metade é o arco \dpi{120} \alpha dividido por 2. Veja como obter as fórmulas do arco metade.

Substituindo \dpi{120} \mathrm{ cos^2\alpha = 1-sen^2\alpha } na fórmula do seno do arco duplo e trocando \dpi{120} \alpha por \dpi{120} \alpha/2 , obtém-se a fórmula do seno do arco metade.

Seno do arco metade

\dpi{120} \mathbf{sen\, {(\boldsymbol{\alpha}/2)} = \pm \sqrt{\frac{1-cos\, \boldsymbol{\alpha}}{2}} }

Substituindo \dpi{120} \mathrm{sen^2\alpha = 1 - cos^2\alpha} na fórmula do cosseno do arco duplo e trocando \dpi{120} \alpha por \dpi{120} \alpha/2 , obtém-se a fórmula do cosseno do arco metade.

Cosseno do arco metade

\dpi{120} \mathbf{cos\, {(\boldsymbol{\alpha}/2)} = \pm \sqrt{\frac{1+cos\, \boldsymbol{\alpha} }{2} }}

Dividindo o seno do arco metade pelo cosseno do arco metade, obtém-se a tangente do arco metade.

Tangente do arco metade

\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha}/2) = \pm \sqrt{\frac{1 - cos\, \boldsymbol{\alpha}}{1 + cos\, \boldsymbol{\alpha}}}}

Para \dpi{120} \alpha\neq \pi + 2k \pi, k\in \mathbb{Z}.

Observação:

O sinal de mais ou menos nas fórmulas acima dependerá da localização do arco \dpi{120} \alpha/2 no círculo trigonométrico, isto é, em qual quadrante ele está.

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