Funções trigonométricas do arco duplo

Entenda o que é um arco duplo e conheça as fórmulas para calcular o seno, cosseno e tangente desse tipo de arco.

No estudo das funções trigonométricas, é comum haver problemas envolvendo arcos duplos. Logo, conhecer as fórmulas específicas do seno, cosseno e tangente desse tipo de arco é fundamental na simplificação de muitos cálculos.

Considere um arco qualquer de medida \dpi{120} \alpha, o arco duplo é o arco de medida \dpi{120} 2\alpha. Dessa forma, queremos obter fórmulas do seno de \dpi{120} 2\alpha, cosseno de \dpi{120} 2\alpha e tangente de \dpi{120} 2\alpha.

Essas fórmulas podem ser obtidas a partir das fórmulas de adição de dois arcos:

\dpi{120} \mathbf{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta}) = sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} + sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}

\dpi{120} \mathbf{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta}) = cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} - sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}

\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha + \beta}) = \frac{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta})}{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta})} = \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\beta}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\beta}}}

Relembre o uso dessas fórmulas a partir de um exemplo onde obtemos o seno de 75° a partir do seno e cosseno dos ângulos notáveis 30° e 45°.

\dpi{120} \mathrm{sen(75^{\circ})=sen(30^{\circ} + 45^{\circ}) = sen\, 30^{\circ}\cdot cos\, 45^{\circ} +sen\, 45^{\circ}\cdot cos\, 30^{\circ}}

\dpi{120} \mathrm{= \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} }

\dpi{120} \mathrm{= \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} }

\dpi{120} \mathrm{= \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} }

\dpi{120} = 0,96

Agora, vamos ver como ficam as fórmulas das funções trigonométricas do arco duplo.

Funções trigonométricas de arcos duplos

Dado um arco de medida \dpi{120} \alpha, o arco duplo é o arco de medida \dpi{120} 2\alpha. Uma vez que \dpi{120} 2\alpha = \alpha + \alpha, podemos usar as fórmulas da adição de dois arcos para obter as fórmulas para o arco duplo.

\dpi{120} \mathbf{sen(2\boldsymbol{\alpha})=sen(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) = sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} + sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}

\dpi{120} \mathbf{= 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }

Portanto, o seno do arco duplo é obtida pela seguinte fórmula:

\dpi{120} \mathbf{sen(2\boldsymbol{\alpha})= 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }
Agora, veja que:
\dpi{120} \mathbf{cos(2\boldsymbol{\alpha})=cos(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) = cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} - sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}
\dpi{120} \mathbf{= cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sen^2\, \boldsymbol{\alpha} }
Portanto, o cosseno do arco duplo é obtido pela seguinte fórmula:
\dpi{120} \mathbf{cos(2\boldsymbol{\alpha})= cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sen^2\, \boldsymbol{\alpha} }

Já em relação à tangente, temos que:

\dpi{120} \mathbf{tan(2\boldsymbol{\alpha})=tan(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) = \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\alpha}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\alpha}}}

\dpi{120} \mathbf{= \frac{2\cdot tan\, \boldsymbol{\alpha} }{1 - tan^2\, \boldsymbol{\alpha}}}

Portanto, a tangente do arco duplo é obtida pela seguinte fórmula:

\dpi{120} \mathbf{tan(2\boldsymbol{\alpha})= \frac{2\cdot tan\, \boldsymbol{\alpha} }{1 - tan^2\, \boldsymbol{\alpha}}}

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