Relações trigonométricas

Aprenda sobre as relações ou identidades trigonométricas. Saiba quais são as relações fundamentais, as relações derivadas e outras relações úteis!

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As relações trigonométricas ou identidades trigonométricas são relações entre as funções trigonométricas, que são verdadeiras para todos os valores do domínio das funções envolvidas.

As relações trigonométricas caracterizam-se como importantes ferramentas no cálculo de funções trigonométricas e na simplificação de expressões envolvendo essas funções.

Relações trigonométricas fundamentais

Para auxiliar no estudo das funções trigonométricas, utiliza-se o círculo trigonométrico, que é um círculo de raio 1 associado a um sistema de coordenadas no plano cartesiano.

O eixo x é o eixo dos cossenos e o eixo y, o eixo dos senos. Considerando um ângulo \dpi{120} \alpha, teremos sempre um ponto P da circunferência associado a ele. 
Círculo trigonométrico

Observe, na figura, que há um triângulo retângulo com hipotenusa igual ao segmento que liga o centro ao ponto P e que tem valor igual a 1 (raio) e catetos iguais ao seno de \dpi{120} \alpha e cosseno de \dpi{120} \alpha.

Assim, podemos utilizar o teorema de Pitágoras, que diz que a hipotenusa (\dpi{120} a) ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos (\dpi{120} b,c).

\dpi{120} a^2 = b^2+c^2

\dpi{120} \Rightarrow 1^2 = sen^2\, (\alpha) +cos^2\, (\alpha)

\dpi{120} \Rightarrow 1 = sen^2\, (\alpha) +cos^2\, (\alpha)

Dessa forma, obtemos a primeira relação fundamental, também conhecida por relação pitagórica:

\dpi{120} \boldsymbol{sen^2\, (\alpha) +cos^2\, (\alpha) = 1}

Há, ainda, outras relações. Você se lembra que, no triângulo retângulo, uma das relações era que a tangente de um ângulo era calculada como o cateto oposto dividido pelo cateto adjacente?

Observe que no triângulo do círculo trigonométrico, o cateto oposto é o seno de \dpi{120} \alpha e o cateto adjacente, o cosseno. Assim:

\dpi{120} \boldsymbol{tan(\alpha)= \frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}}

Além do seno, cosseno e tangente, outras funções trigonométricas importantes aparecem nas relações trigonométricas: secante (sec), cossecante (csc) e cotangente (cot).

Veja todas essas funções no círculo trigonométrico:

Funções no círculo trigonométrico

A secante é definida como o inverso da função cosseno:

\dpi{120} \boldsymbol{sec(\alpha)= \frac{1}{cos(\alpha)}}

Já a cossecante corresponde ao inverso da função seno:

\dpi{120} \boldsymbol{csc(\alpha)= \frac{1}{sen(\alpha)}}

Por fim, a cotangente é dada pelo inverso da função tangente:

\dpi{120} \boldsymbol{cot(\alpha)= \frac{1}{tan(\alpha)}}

Relações trigonométricas derivadas

As relações trigonométricas derivadas são relações obtidas a partir das relações fundamentais.

Dividindo todos os termos da equação \dpi{120} sen^2\, (\alpha) +cos^2\, (\alpha) = 1 por \dpi{120} cos^2(\alpha) e considerando outras relações que vimos, obtemos:

\dpi{120} \boldsymbol{sec^2(\alpha) = 1 + tan^2(\alpha)}

Semelhantemente, dividindo todos os termos da equação \dpi{120} sen^2\, (\alpha) +cos^2\, (\alpha) = 1 por \dpi{120} sen^2(\alpha), podemos obter mais uma relação:

\dpi{120} \boldsymbol{csc^2(\alpha) = 1 + cot^2(\alpha)}

Outras relações

Além das relações fundamentais e derivadas, existem relações entre os valores das funções de ângulos complementares (somam 90°):

\dpi{120} cos(\alpha) = sen\bigg( \frac{\pi}{2} - \alpha\bigg)

\dpi{120} sen(\alpha) = cos\bigg( \frac{\pi}{2} - \alpha\bigg)

\dpi{120} cot(\alpha) = tan\bigg( \frac{\pi}{2} - \alpha\bigg)

E de ângulos suplementares (somam 180°):

\dpi{120} sen(\alpha) = sen(\pi - \alpha)

\dpi{120} -cos(\alpha) = cos(\pi - \alpha)

\dpi{120} -tan(\alpha) = tan(\pi - \alpha)

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