Seno e cosseno de ângulos obtusos

Veja as fórmulas e entenda como calcular os valores das funções trigonométricas para ângulos obtusos, aqueles com medida maior que 90 graus.

Você já deve ter observado que nas tabelas trigonométricas são apresentados os valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos de 1 a 90 graus.

Mas, e quanto aos valores dessas funções para ângulos maiores que 90 graus, como obter esses valores sem ter que usar uma calculadora?

Antes de responder a esta pergunta, devemos recordar que os ângulos são classificados em relação às suas medidas:

  • Ângulo reto é o ângulo de 90°, exatamente;
  • Ângulo agudo é o ângulo que mede menos que 90°;
  • Ângulo obtuso é o ângulo que mede mais que 90° e menos que 180°.

Além disso, devemos lembrar que todo ângulo obtuso possui um ângulo agudo suplementar a ele. Dois ângulos são suplementares quando a soma deles é igual a 180°.

Exemplo:

O ângulo de 120° é obtuso e o seu suplementar é o ângulo de 60°, que é um ângulo agudo.

120° + 60° = 180°

Compreender esse conceito é importante, pois o valor das funções trigonométricas de um ângulo obtuso está diretamente relacionado ao valor das funções do ângulo agudo suplementar a ele.

Veja a seguir, as fórmulas para calcular o seno e cosseno de ângulo obtusos.

Fórmulas do seno e cosseno de ângulos obtusos

O seno de um ângulo obtuso é igual ao seno do seu ângulo suplementar:

\dpi{120} \mathbf{sen\, x = sen(180^{\circ} - x)}

O cosseno de um ângulo obtuso é o valor oposto (sinal trocado) ao seno do seu ângulo suplementar:

\dpi{120} \mathbf{cos\, x = -cos(180^{\circ} - x)}

Consequentemente, a tangente de um ângulo obtuso é o valor oposto à tangente do seu ângulo suplementar:

\dpi{120} \mathbf{tan\, x = -tan(180^{\circ} - x)}

Exemplo:

Determine o seno, cosseno e tangente de cada ângulo.

a) 120°

Basta substituir x por 120° nas fórmulas apresentadas anteriormente.

\dpi{120} \mathrm{sen\, 120^{\circ} = sen(180^{\circ} - 120^{\circ}) = sen(60^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2} }

\dpi{120} \mathrm{cos\, 120^{\circ} = -cos(180^{\circ} - 120^{\circ}) = -cos(60^{\circ}) =-\frac{1}{2}}

\dpi{120} \mathrm{tan\, 120^{\circ} = -tan(180^{\circ} - 120^{\circ}) = -tan(60^{\circ}) = -\sqrt{3}}

Como o ângulo de 60° é um ângulo notável, consultamos os valores das funções na tabela de ângulos notáveis, mas também podem ser consultados na tabela trigonométrica.

Tabela de ângulos notáveis
Tabela de ângulos notáveis.

b) 98°

Substituindo x por 98° nas fórmulas, temos que:

\dpi{120} \mathrm{sen\, 98^{\circ} = sen(180^{\circ} - 98^{\circ}) = sen(82^{\circ})=0,99 }

\dpi{120} \mathrm{cos\, 98^{\circ} = -cos(180^{\circ} - 98^{\circ}) = -cos(82^{\circ})=-0,139 }

\dpi{120} \mathrm{tan\, 98^{\circ} = tan(180^{\circ} - 98^{\circ}) = tan(82^{\circ})=-7,115 }

Os valores das funções para o ângulo de 82° podem ser obtidos na tabela trigonométrica.

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