Utilizando as relações trigonométricas

Saiba quais são e como utilizar as relações trigonométricas: seno, cosseno e tangente, em um triângulo retângulo.


As relações trigonométricas são fórmulas que relacionam os ângulos e os lados de um triângulo retângulo. Essas fórmulas envolvem as funções seno, cosseno e tangente e possuem muitas aplicações em problemas geométricos envolvendo esse tipo de triângulo.

Relações trigonométricas no triângulo retângulo

O triângulo retângulo é o triângulo que possui um ângulo reto (90°) e dois ângulos agudos (menores que 90°). Os lados do triângulo retângulo são chamados de hipotenusa e catetos, sendo que os catetos podem ser oposto ou adjacente, conforme o ângulo de referência.

Triângulo retângulo

Elementos do triângulo retângulo:

  • Hipotenusa: lado oposto ao ângulo reto;
  • Cateto oposto: lado oposto ao ângulo agudo considerado;
  • Cateto adjacente: lado consecutivo ao ângulo agudo considerado.

Fórmulas:

Considerando o ângulo \dpi{120} \alpha do triângulo retângulo, temos que:

\dpi{120} \mathbf{sen\, \boldsymbol{\alpha} = \frac{cateto\, oposto}{hipotenusa}}

\dpi{120} \mathbf{cos\, \boldsymbol{\alpha} = \frac{cateto\, adjacente}{hipotenusa}}

\dpi{120} \mathbf{tan\, \boldsymbol{\alpha} = \frac{cateto\, oposto}{cateto \, adjacente}}

Observação: A hipotenusa do triângulo retângulo é sempre a mesma, já os catetos oposto e adjacente variam em relação ao ângulo agudo que está sendo considerado.

Exemplos – Utilizando as relações trigonométricas

Veja, a seguir, exemplos de como utilizar as relações trigonométricas.

Exemplo 1: Calcule o valor de x e y no triângulo abaixo:

Triângulo

Pelo seno do ângulo de 30°, podemos determinar o valor de x, que é a hipotenusa do triângulo.

\dpi{120} \mathrm{sen\, 30^{\circ} =\frac{5}{x}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{ x=\frac{5}{sen\, 30^{\circ}}}

\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow x = 10}

Agora, uma das formas de encontrar o valor de y, é a partir do cosseno do ângulo de 30°. Nesse caso, y é o cateto adjacente ao ângulo de 30°.

\dpi{120} \mathrm{cos\, 30^{\circ} =\frac{y}{10}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{ y = 10\cdot cos\, 30^{\circ}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{ y \approx 9}

Exemplo 2: Determine a medida dos ângulos \dpi{120} \alpha e \dpi{120} \beta do triângulo abaixo:

Triângulo

Primeiro, vamos determinar o ângulo \dpi{120} \alpha:

\dpi{120} \mathrm{sen\, \alpha = \frac{5}{6,4}}

\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow \alpha = sen^{-1} \left ( \frac{5}{6,4}\right )}

\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow \alpha \approx 51,37^{\circ}}

Agora, vamos determinar o ângulo \dpi{120} \beta:

\dpi{120} \mathrm{sen\, \beta = \frac{4}{6,4}}

\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow \beta = sen^{-1} \left ( \frac{4}{6,4}\right )}

\dpi{120} \Rightarrow \beta \approx 38,68

Observe que utilizamos o seno nos dois casos, mas também poderíamos utilizar o cosseno e chegar nesses mesmos resultados.

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