Calculando o cofator

Cofator é um termo que está associado ao estudo de matrizes quadradas, sendo utilizado para calcular determinantes e inversas. Entenda como calcular cofator!

Por Elainy Marciano Publicado em 16/09/2020 - 17:18

Cofator é um termo que está associado ao estudo de matrizes quadradas. Cada um dos elementos desse tipo de matriz possui um cofator associado.

O cofator é utilizado, por exemplo, no cálculo de determinantes de matrizes de ordem 4 ou maiores, pelo Teorema de Laplace.

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O que é cofator?

O cofator é um valor numérico que pode ser obtido para cada um dos elementos de uma matriz quadrada.

Matriz quadrada é uma matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas.

Dada um matriz $\dpi{120} \mathrm{A_{(n\times n)}}$ , o cofator associado ao elemento $\dpi{120} \mathrm{a_{ij}}$ é representado por $\dpi{120} \mathrm{A_{ij}}$ e pode ser definido da seguinte forma:

$\mathbf{A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot D_{ij}}$

Em que $\dpi{120} \mathrm{D_{ij}}$ é o determinante da matriz $\dpi{120} \mathrm{A}$ calculado quando eliminamos a linha $\dpi{120} \mathrm{i}$ e a coluna $\dpi{120} \mathrm{j}$ .

Como calcular o cofator?

Para entender como calcular o cofator, vamos considerar um exemplo.

Calcular os cofatores associados aos elementos $\dpi{120} \mathrm{a_{11}}$ , $\dpi{120} \mathrm{a_{12}}$ , $\dpi{120} \mathrm{a_{13}}$ e $\dpi{120} \mathrm{a_{21}}$ da matriz abaixo:

$\mathrm{A} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 5\\ 3& 2 & 4\\ 6& 1 & 0 \end{bmatrix}$

Cofator do elemento $\dpi{120} \mathrm{a_{11}}$ :

$\mathrm{A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot D_{11}}$

$\dpi{120} A\mathrm{_{11}= (-1)^{2} \cdot D_{11}}$

$\dpi{120} \mathrm{A_{11}= D_{11}}$

Eliminando a linha 1 e coluna 1, calculamos $\dpi{120} \mathrm{D_{11}}$ :

$\mathrm{D_{11}} = \begin{vmatrix} {\color{Red} 2} & {\color{Red} 1} & {\color{Red} 5}\\ {\color{Red} 3}& 2 & 4\\ {\color{Red} 6}& 1 & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 &4 \\ 1& 0 \end{vmatrix} = 2\cdot 0-4\cdot 1 = -4$

Portanto: $\dpi{120} \mathrm{A_{11}= D_{11} = -4}$

Cofator do elemento $\dpi{120} \mathrm{a_{12}}$ :

$\mathrm{A_{12} = (-1)^{1+2} \cdot D_{12}}$

$\dpi{120} \mathrm{A_{12}= (-1)^{3} \cdot D_{12}}$

$\dpi{120} \mathrm{A_{12}= -D_{12}}$

Eliminando a linha 1 e coluna 2, calculamos $\dpi{120} \mathrm{D_{12}}$ :

$\mathrm{D_{12}} = \begin{vmatrix} {\color{Red} 2} & {\color{Red} 1} & {\color{Red} 5}\\ { 3}& {\color{Red} 2} & 4\\ {6}& {\color{Red} 1} & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 &4 \\ 6& 0 \end{vmatrix} = 3\cdot 0-4\cdot 6 = -24$

Portanto: $\dpi{120} \mathrm{A_{12}= -D_{12} = -(-24)=24}$

Cofator do elemento $\dpi{120} \mathrm{a_{13}}$ :

$\mathrm{A_{13} = (-1)^{1+3} \cdot D_{13}}$

$\dpi{120} \mathrm{A_{13}= (-1)^{4} \cdot D_{13}}$

$\dpi{120} \mathrm{A_{13}= D_{13}}$

Eliminando a linha 1 e coluna 3, calculamos $\dpi{120} \mathrm{D_{13}}$ :

$\mathrm{D_{13}} = \begin{vmatrix} {\color{Red} 2} & {\color{Red} 1} & {\color{Red} 5}\\ {3}& 2 & {\color{Red} 4}\\ { 6}& 1 & {\color{Red} 0} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 &2 \\ 6& 1 \end{vmatrix} = 3\cdot 1-2\cdot 6 = -9$

Portanto: $\dpi{120} \mathrm{A_{13}= D_{13} = -9}$

Cofator do elemento $\dpi{120} \mathrm{a_{21}}$ :

$\mathrm{A_{21} = (-1)^{2+1} \cdot D_{21}}$

$\dpi{120} \mathrm{A_{21}= (-1)^{3} \cdot D_{21}}$

$\dpi{120} \mathrm{A_{21}= -D_{21}}$

Eliminando a linha 2 e coluna 1, calculamos $\dpi{120} \mathrm{D_{21}}$ :

$\mathrm{D_{21}} = \begin{vmatrix} { {\color{Red} 2}} & {1} & { 5}\\ {{\color{Red} 3}}& {\color{Red} 2} & {\color{Red} 4}\\ {{\color{Red} 6}}& {1} & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 &5 \\ 1& 0 \end{vmatrix} = 1\cdot 0-5\cdot 1 = -5$

Portanto: $\dpi{120} \mathrm{A_{21}= -D_{21} = -(-5)=5}$

Matriz de cofatores

A matriz de cofatores é uma matriz da mesma ordem que a matriz A, em que os elementos são os cofatores calculados para cada elemento de A.

A matriz de cofatores C de uma matriz A de ordem 3 é dada por:

$\dpi{120} \mathrm{C}= \begin{bmatrix} \mathrm{A_{11}} & \mathrm{A_{12}} &\mathrm{A_{13}}\\ \mathrm{A_{21}}&\mathrm{A_{22}} &\mathrm{A_{23}} \\ \mathrm{A_{31}} &\mathrm{A_{32}} & \mathrm{A_{33}} \end{bmatrix}$

Portanto, basta calcular todos os cofatores e depois preencher a matriz com os valores encontrados.

A matriz de cofator é utilizada no cálculo de inversa de matrizes pelo método da matriz adjunta.

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