Calculando a diagonal do quadrado e do retângulo

Veja como usar o teorema de Pitágoras para calcular a diagonal do quadrado e do retângulo.

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O quadrado e o retângulo são duas figuras geométricas planas muito comuns no dia a dia e aparecem em diversos problemas matemáticos.

Eles são polígonos de quatro lados, sendo classificados como quadriláteros. Ambos possuem quatro vértices e quatro ângulos internos retos, ou seja, ângulos de 90°.

Nessas figuras, podemos ligar os vértices não consecutivos, obtendo segmentos de retas chamados de diagonais.

diagonal de um retângulo

diagonal de um quadrado

Diagonal do quadrado e do retângulo

As diagonais do quadrado e do retângulo dividem cada uma das figuras em dois triângulos.

Esses triângulos formados, sempre vão possuir um ângulo reto, portanto, são classificados como triângulos retângulos.

Triângulo Retângulo
Triângulo retângulo

Os triângulos retângulos possuem uma relação muito importante entre as medidas dos seus três lados, conhecida como Teorema de Pitágoras.

Por esse teorema, o quadrado da hipotenusa do triângulo (lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos catetos do triângulo:

\dpi{120} \mathrm{a^2 = b^2 + c^2}

Ou ainda, de forma equivalente:\dpi{120} \mathbf{a = \sqrt{b^2+c^2}}

  • a: hipotenusa
  • b e c: catetos

Agora, veja que no quadrado e no retângulo, a diagonal corresponde a hipotenusa do triângulo formado e os outros dois lados da figura são os catetos.

Diagonal do quadrado e do retângulo

Dessa forma, podemos utilizar o teorema de Pitágoras para calcular a diagonal do quadrado e do retângulo.

Diagonal do quadrado

\dpi{120} \mathbf{d = \sqrt{L^2+L^2}}

Em que L é a medida do lado do quadrado.

Observe, ainda, que essa fórmula pode ser simplificada: \dpi{120} \mathrm{d = \sqrt{L^2+L^2}= \sqrt{2L^2} = L\sqrt{2}}.

Exemplo: Calcular a medida da diagonal de um quadrado cujos lados medem 5 metros cada.

Quadrado

Temos L = 5. Vamos aplicar esse valor na fórmula da diagonal do quadrado:

\dpi{120} \mathbf{d = \sqrt{5^2+5^2}}

\dpi{120} \mathbf{d = \sqrt{50}}

\dpi{120} \mathbf{d = 5\sqrt{2}}

Portanto, a diagonal desse quadrado mede \dpi{120} 5\sqrt{2} metros, o que é aproximadamente igual a 7,07 metros.

Diagonal do retângulo

\dpi{120} \mathbf{d = \sqrt{b^2+h^2}}

Em que b é a medida da base e h é a altura do retângulo.

Exemplo: Calcular a medida da diagonal de um retângulo cuja base mede 8 cm e a altura é igual 3 cm.

Retângulo

Temos b = 8 e h = 3. Vamos aplicar esses valores na fórmula da diagonal do retângulo:

\dpi{120} \mathbf{d = \sqrt{8^2+3^2}}

\dpi{120} \mathbf{d = \sqrt{64+9}}

\dpi{120} \mathbf{d = \sqrt{73}}

Portanto, a diagonal desse retângulo mede \dpi{120} \sqrt{73} centímetros, que é aproximadamente igual a 8,54 centímetros.

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