Dízima periódica

Entre os números decimais, há aqueles que são dízimas periódicas. Entenda mais sobre isso e veja vários exemplos!

Por Elainy Marciano Publicado em 21/10/2020 - 23:28

Dízima periódica é qualquer número decimal infinito, que apresenta um período, ou seja, um padrão de repetição nas casas decimais.

Exemplos:

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0,33333….. → Dízima periódica de período 3

1,26262626… → Dízima periódica de período 26

0,4921921921921… → Dízima periódica de período 921

Para abreviar a escrita de uma dízima periódica, podemos utilizar um traço para indicar qual o período.

$\dpi{120} \mathbf{0,33333 = 0,\overline{3}}$

Além disso, dízimas periódicas sempre podem ser escritas como um quociente entre dois números inteiros. Portanto, pertencem ao conjunto dos números racionais.

$\dpi{120} \mathbf{0,33333 = \frac{3}{9}}$

Dízimas periódicas simples e compostas

As dízimas periódicas podem ser classificadas em simples e compostas.

Dízimas periódicas simples: são dízimas cuja parte decimal (após a vírgula) é formada apenas pelo período.

$\dpi{120} \mathbf{15,22222....= 15,\overline{2}}$

$\dpi{120} \mathbf{0,313131....= 0,\overline{31}}$

$\dpi{120} \mathbf{6,051051051....= 6,\overline{051}}$

Dízimas periódicas compostas: são dízimas cuja parte decimal (após a vírgula) é formada pelo período e por outros algarismos.

$\dpi{120} \mathbf{15,0122222....= 15,01\overline{2}}$

$\dpi{120} \mathbf{0,895313131....= 0,895\overline{31}}$

$\dpi{120} \mathbf{6,7051051051....= 6,7\overline{051}}$

Fração geratriz

As dízimas periódicas quando escritas em forma de fração são chamadas de fração geratriz.

Vamos ver exemplos de como determinar a fração geratriz de acordo com cada tipo de dízima.

Fração geratriz de dízima periódica simples:

→ Se a parte inteira for 0:

Dividimos o período por 9, 99, 999, 999…, de acordo com a quantidade de algarismos do período.

$\dpi{120} \mathbf{0,44444... = 0,\overline{4} = \frac{4}{9}}$

$\dpi{120} \mathbf{0,181818... = 0,\overline{18} = \frac{18}{99}}$

$\dpi{120} \mathbf{0,320320320... = 0,\overline{320} = \frac{320}{999}}$

→ Se a parte inteira for diferente de 0:

Eliminamos a vírgula e subtraímos a parte inteira. Dividimos o resultado por 9, 99, 999, 9999…, de acordo com a quantidade de algarismos do período.

$\dpi{120} \mathbf{3,44444... = 3,\overline{4} = \frac{34 - 3}{9}= \frac{31}{9}}$

$\dpi{120} \mathbf{12,181818... = 12,\overline{18} = \frac{1218 - 12}{99}= \frac{1206}{99}}$

$\dpi{120} \mathbf{745,320320320... = 745,\overline{320} = \frac{745320 - 745}{999}= \frac{744575}{999}}$

Fração geratriz de dízima periódica composta:

Eliminamos a vírgula e subtraímos o número sem o período. Dividimos o resultado por um número com 9 e 0.

O 9 é escrito de acordo com a quantidade de algarismos do período e o 0 é escrito de acordo com a quantidade de algarismos que estão após a vírgula e não são período.

$\dpi{120} \mathbf{41,611111... = 41,{\color{Red} 6}\overline{1} = \frac{4161 - 416}{9{\color{Red} 0}}= \frac{3745}{90}}$

$\dpi{120} \mathbf{8, 295555... = 8,{\color{Red} 29}\overline{5} = \frac{8295 - 829}{9{\color{Red} 00}}= \frac{7466}{900}}$

$\dpi{120} \mathbf{0,30867676767... = 0,{\color{Red} 308}\overline{67} = \frac{030867 - 0308}{99{\color{Red} 000}}= \frac{30559}{99000}}$

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