Equações irracionais

Você já ouviu falar nas equações irracionais? Entenda o que são, veja exemplos e aprenda a resolvê-las!

Equações irracionais são equações em que a incógnita aparece dentro de um radical (\dpi{120} \sqrt{{\color{White} 0}}).

Veja alguns exemplos:

\dpi{120} \sqrt{x+ 1} = 2              \dpi{120} \sqrt{x-2} + 5x = 0             \dpi{120} \sqrt[3]{3x - 2} + 4 = 6x

Como resolver equações irracionais

Para resolver uma equação irracional, elevamos ambos os lados da equação a um expoente conveniente, que “elimine” o radical e a torne em uma equação racional.

Feito isso, é só resolver a equação racional e verificar se os valores encontrados são realmente a solução da equação irracional.

Exemplo 1:  \dpi{120} \sqrt{x + 7} = 2

1º passo) Elevamos ao quadrado ambos os lados da equação:

\dpi{120} (\sqrt{x + 7})^2 = 2^2

2º passo) “Eliminamos” a raiz quadrada:

\dpi{120} x+ 7 = 4

3º passo) Resolvemos a equação racional:

\dpi{120} x+ 7 = 4

\dpi{120} x= 4 - 7

\dpi{120} x= -3

4º passo) Substituímos \dpi{120} x por -3 na equação inicial \dpi{120} \sqrt{x + 7} = 2:

\dpi{120} \sqrt{-3 + 7} = 2

\dpi{120} \sqrt{4} = 2

\dpi{120} 2 = 2

Como não chegamos a nenhum absurdo, já que 2 é igual a 2 mesmo, então, a solução da equação irracional é \dpi{120} x = -3.

Exemplo 2:  \dpi{120} 2\sqrt[3]{x + 5} = 3

1º passo) Elevamos ao cubo ambos os lados da equação:

\dpi{120} (2\sqrt[3]{x + 5})^3 = 3^3

2º passo) “Eliminamos” a raiz cúbica:

\dpi{120} 8\cdot (x+5) = 27

3º passo) Resolvemos a equação racional:

\dpi{120} 8\cdot (x+5) = 27

\dpi{120} 8x + 40 = 27

\dpi{120} 8x = 27-40

\dpi{120} 8x = -13

\dpi{120} x = -\frac{13}{8}

4º passo) Substituímos \dpi{120} x por \dpi{120} - \frac{13}{8} na equação inicial \dpi{120} 2\sqrt[3]{x + 5} = 3:

\dpi{120} 2\sqrt[3]{x + 5} = 3

\dpi{120} 2\sqrt[3]{-\frac{13}{8} + 5} = 3

\dpi{120} 2\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = 3

\dpi{120} 2\cdot \frac{3}{2} = 3

\dpi{120} 3 = 3

Como não chegamos a nenhum absurdo, já que 3 é igual a 3 mesmo, então, a solução da equação irracional é \dpi{120} x = -\frac{13}{8}.

Exemplo 3:  \dpi{120} 3 +\sqrt{3x+1} = x

1º passo) Trocamos o termo + 3 de lado, de modo a isolar o radical:

\dpi{120} \sqrt{3x+1} = x - 3

2º passo) Elevamos ao quadrado ambos os lados da equação:

\dpi{120} (\sqrt{3x+1})^2 = (x-3)^2

3º passo) “Eliminamos” a raiz quadrada:

\dpi{120} 3x+1 = x^2 - 6x +9

4º passo) Resolvemos a equação racional:

\dpi{120} 3x+1 = x^2 - 6x +9

\dpi{120} 3x+1 - x^2 + 6x - 9 = 0

\dpi{120} x^2 - 9x + 8 = 0

Cálculo do discriminante:

\dpi{120} \Delta = (-9)^2- 4\cdot 1\cdot 8=49

Aplicação da fórmula de Bhaskara:

\dpi{120} x= \frac{9 \pm 7}{2}\Rightarrow x_1=8 \, \mathrm{e}\, \, x_2=1

5º passo) Na equação inicial, substituímos \dpi{120} x por cada uma das raízes encontradas:

\dpi{120} x = 8

\dpi{120} 3 +\sqrt{3.8+1} = 8

\dpi{120} 3 +\sqrt{25} = 8

\dpi{120} 3 +5 = 8

\dpi{120} 8 = 8

\dpi{120} x = 1

\dpi{120} 3 +\sqrt{3.1+1} = 1

\dpi{120} 3 +\sqrt{4} = 1

\dpi{120} 3 +2 = 1

\dpi{120} 5 = 1

Veja que \dpi{120} x = 8 satisfaz a equação, mas \dpi{120} x = 1 não satisfaz, pois chegamos ao absurdo de que 5 é igual a 1. Portanto, a solução da equação irracional é apenas \dpi{120} x = 8.

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