Lista de exercícios sobre lei dos senos

Confira uma lista de exercícios resolvidos e aprenda mais sobre o uso da lei dos senos para resolver problemas com triângulos.

lei dos senos ou teorema dos senos é uma fórmula que estabelece a relação entre os lados e os ângulos internos de qualquer triângulo, seja triângulo retângulo ou não.

Lei dos senos:

Sendo a, b e c os lados do triângulo e \boldsymbol{\alpha, \beta} e \boldsymbol{\delta} os respectivos ângulos opostos, temos que:

\dpi{120} \mathbf{\frac{a}{sen\boldsymbol{\alpha}}= \frac{b}{sen\boldsymbol{\beta}} = \frac{c}{sen\boldsymbol{\delta}}}

Pela lei dos senos é possível determinar todas as medidas do triângulo conhecendo-se apenas dois ângulos e um lado ou apenas dois lados e um ângulo oposto.

Veja a seguir, uma lista de exercícios sobre lei dos senos, todos resolvidos para que você possa tirar suas dúvidas!

Exercícios sobre lei dos senos


Questão 1. Em um triângulo com \dpi{120} \alpha = 42^{\circ}, \dpi{120} \beta = 76^{\circ} e a = 15 cm, determine a medida do terceiro ângulo e dos outros lados.


Questão 2. Em um triângulo com b = 15 cm, c = 9 cm e \dpi{120} \beta = 45^{\circ}, determine a medida do terceiro lado e dos outros ângulos.


Questão 3. Em um triângulo com \dpi{120} \beta = 21^{\circ}, \dpi{120} \delta = 84^{\circ} e c = 18 cm, determine a medida do terceiro ângulo e dos outros lados.


Questão 4. Em um triângulo com a = 30 cm, c = 22 cm e \dpi{120} \alpha = 59^{\circ}, determine a medida do terceiro lado e dos outros ângulos.


Resolução da questão 1

Em qualquer triângulo a soma dos ângulos internos é 180°, ou seja:

\dpi{120} \alpha + \beta + \delta = 180^{\circ}

Como \dpi{120} \alpha = 42^{\circ} e \dpi{120} \beta = 76^{\circ}, então:

\dpi{120} \delta = 180^{\circ} - 42 ^{\circ} -76^{\circ}

\dpi{120} \Rightarrow \delta = 62^{\circ}

Agora, para encontrar os valores dos lados b e c, vamos utilizar a lei dos senos:

\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{sen\alpha}= \frac{b}{sen\beta} = \frac{c}{sen\delta}}

Substituindo os valores conhecidos nessa fórmula, temos que:

\dpi{120} \mathrm{\frac{15}{sen\, 42^{\circ}}= \frac{b}{sen \, 76^{\circ}} = \frac{c}{sen \, 62^{\circ}}}

Para encontrar o valor de b, basta utilizar a primeira igualdade e aplicar a propriedade fundamental das proporções:

\dpi{120} \mathrm{\frac{15}{sen\, 42^{\circ}}= \frac{b}{sen\, 76^{\circ}} }

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{b \cdot sen\, 42^{\circ} = 15\cdot sen\, 76^{\circ}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{b = \frac{15\cdot sen\, 76^{\circ}}{ sen \, 42^{\circ}}}\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{b = 21,75}Agora, para determinar o valor de c, podemos considerar a seguinte igualdade da fórmula:

\dpi{120} \mathrm{\frac{15}{sen\, 42^{\circ}}= \frac{c}{sen \, 62^{\circ}}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{c \cdot sen\, 42^{\circ} = 15\cdot sen\, 62^{\circ}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{c= \frac{15\cdot sen\, 62^{\circ}}{sen\, 42^{\circ}}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{c= 19,79}

Resolução da questão 2

Temos b = 15 cm, c = 9 cm e \dpi{120} \beta = 45^{\circ}. Substituindo esses valores na fórmula da lei dos senos, temos que:

\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{sen\alpha}= \frac{15}{sen\, 45^{\circ}} = \frac{9}{sen\delta}}

A partir da segunda igualdade, podemos determinar o valor de \dpi{120} \delta:

\dpi{120} \mathrm{\frac{15}{sen\, 45^{\circ}} = \frac{9}{sen\delta}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{15\cdot sen\, \delta = 9\cdot sen\, 45^{\circ}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{sen\, \delta = \frac{9\cdot sen\, 45^{\circ}}{15}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\delta = sen^{-1}\left ( \frac{9\cdot sen\, 45^{\circ}}{15}\right )}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\delta = 25,10^{\circ}}

Uma vez que já conhecemos dois ângulos internos do triângulo, o ângulo \dpi{120} \alpha pode ser determinado da seguinte forma:

\dpi{120} \alpha + \beta + \delta = 180^{\circ}

\dpi{120} \alpha = 180^{\circ} - \beta - \delta

\dpi{120} \alpha = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 25,10^{\circ}

\dpi{120} \alpha = 109,9^{\circ}

Agora, a partir da primeira igualdade da fórmula da lei dos senos, podemos determinar o valor do lado a:

\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{sen\, 109,9^{\circ}}= \frac{15}{sen\, 45^{\circ}} }

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{a\cdot sen\, 45^{\circ}= 15\cdot sen\, 109,9^{\circ}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{a= \frac{15\cdot sen\, 109,9^{\circ}}{sen\, 45^{\circ}}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{a= 19,94}

Resolução da questão 3

Como \dpi{120} \beta = 21^{\circ}\dpi{120} \delta = 84^{\circ}, então:

\dpi{120} \alpha = 180^{\circ} - 21 ^{\circ} -84^{\circ}

\dpi{120} \Rightarrow \alpha = 75^{\circ}

Agora, para encontrar os valores dos lados a e b, vamos utilizar a lei dos senos:

\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{sen\alpha}= \frac{b}{sen\beta} = \frac{c}{sen\delta}}

Substituindo os valores conhecidos nessa fórmula, temos que:

\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{sen\, 75^{\circ}}= \frac{b}{sen \, 21^{\circ}} = \frac{18}{sen \, 84^{\circ}}}

Para encontrar o valor de b, vamos usar a segunda igualdade e aplicar a propriedade fundamental das proporções:

\dpi{120} \mathrm{ \frac{b}{sen \, 21^{\circ}} = \frac{18}{sen \, 84^{\circ}}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{b \cdot sen\, 84^{\circ} = 18\cdot sen\, 21^{\circ}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{b = \frac{18\cdot sen\, 21^{\circ}}{ sen \, 84^{\circ}}}\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{b = 6,48}

Agora, para determinar o valor de a, podemos considerar a seguinte igualdade da fórmula:

\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{sen\, 75^{\circ}}= \frac{18}{sen \, 84^{\circ}}}

\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow a\cdot sen\, 84^{\circ} = 18\cdot sen\, 75^{\circ}}

\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow a= \frac{18\cdot sen\, 75^{\circ}}{sen\, 84^{\circ}}}

\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow a= 17,48}

Resolução da questão 4

Temos a = 30 cm, c = 22 cm e \dpi{120} \alpha = 59^{\circ}. Substituindo esses valores na fórmula da lei dos senos, temos que:

\dpi{120} \mathrm{\frac{30}{sen\59^{\circ}}= \frac{b}{sen\,\beta} = \frac{22}{sen\delta}}

A partir da seguinte igualdade, podemos determinar o valor de \dpi{120} \delta:

\dpi{120} \mathrm{\frac{30}{sen\59^{\circ}} = \frac{22}{sen\delta}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{30\cdot sen\, \delta =22\cdot sen\, 59^{\circ}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{sen\, \delta = \frac{22\cdot sen\, 59^{\circ}}{30}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\delta = sen^{-1}\left ( \frac{22\cdot sen\, 59^{\circ}}{30}\right )}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\delta = 38,94^{\circ}}

Uma vez que já conhecemos dois ângulos internos do triângulo, o ângulo \dpi{120} \beta pode ser determinado da seguinte forma:

\dpi{120} \alpha + \beta + \delta = 180^{\circ}

\dpi{120} \beta = 180^{\circ} - 59^{\circ} - 38,94^{\circ}

\dpi{120} \beta = 82,06^{\circ}

Agora, a partir da primeira igualdade da fórmula da lei dos senos, podemos determinar o valor do lado b:

\dpi{120} \mathrm{\frac{30}{sen\59^{\circ}}= \frac{b}{sen\,\beta}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\frac{30}{sen\59^{\circ}}= \frac{b}{sen\, 82,06^{\circ}}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{b \cdot sen\, 59^{\circ} = 30\cdot sen\, 82,06^{\circ}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{b = \frac{30\cdot sen\, 82,06^{\circ}}{sen\, 59^{\circ}}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{b = 34,66}

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