Lista de exercícios sobre lei dos senos

Confira uma lista de exercícios resolvidos e aprenda mais sobre o uso da lei dos senos para resolver problemas com triângulos.

Por Elainy Marciano Publicado em 05/11/2020 - 17:43

A lei dos senos ou teorema dos senos é uma fórmula que estabelece a relação entre os lados e os ângulos internos de qualquer triângulo, seja triângulo retângulo ou não.

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Sendo a, b e c os lados do triângulo e $\boldsymbol{\alpha, \beta}$ e $\boldsymbol{\delta}$ os respectivos ângulos opostos, temos que:

$\dpi{120} \mathbf{\frac{a}{sen\boldsymbol{\alpha}}= \frac{b}{sen\boldsymbol{\beta}} = \frac{c}{sen\boldsymbol{\delta}}}$

Pela lei dos senos é possível determinar todas as medidas do triângulo conhecendo-se apenas dois ângulos e um lado ou apenas dois lados e um ângulo oposto.

Veja a seguir, uma lista de exercícios sobre lei dos senos, todos resolvidos para que você possa tirar suas dúvidas!

Exercícios sobre lei dos senos

Questão 1. Em um triângulo com $\dpi{120} \alpha = 42^{\circ}$ , $\dpi{120} \beta = 76^{\circ}$ e a = 15 cm, determine a medida do terceiro ângulo e dos outros lados.

Questão 2. Em um triângulo com b = 15 cm, c = 9 cm e $\dpi{120} \beta = 45^{\circ}$ , determine a medida do terceiro lado e dos outros ângulos.

Questão 3. Em um triângulo com $\dpi{120} \beta = 21^{\circ}$ , $\dpi{120} \delta = 84^{\circ}$ e c = 18 cm, determine a medida do terceiro ângulo e dos outros lados.

Questão 4. Em um triângulo com a = 30 cm, c = 22 cm e $\dpi{120} \alpha = 59^{\circ}$ , determine a medida do terceiro lado e dos outros ângulos.

Resolução da questão 1

Em qualquer triângulo a soma dos ângulos internos é 180°, ou seja:

$\dpi{120} \alpha + \beta + \delta = 180^{\circ}$

Como $\dpi{120} \alpha = 42^{\circ}$ e $\dpi{120} \beta = 76^{\circ}$ , então:

$\dpi{120} \delta = 180^{\circ} - 42 ^{\circ} -76^{\circ}$

$\dpi{120} \Rightarrow \delta = 62^{\circ}$

Agora, para encontrar os valores dos lados b e c, vamos utilizar a lei dos senos:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{sen\alpha}= \frac{b}{sen\beta} = \frac{c}{sen\delta}}$

Substituindo os valores conhecidos nessa fórmula, temos que:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{15}{sen\, 42^{\circ}}= \frac{b}{sen \, 76^{\circ}} = \frac{c}{sen \, 62^{\circ}}}$

Para encontrar o valor de b, basta utilizar a primeira igualdade e aplicar a propriedade fundamental das proporções:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{15}{sen\, 42^{\circ}}= \frac{b}{sen\, 76^{\circ}} }$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{b \cdot sen\, 42^{\circ} = 15\cdot sen\, 76^{\circ}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{b = \frac{15\cdot sen\, 76^{\circ}}{ sen \, 42^{\circ}}}$ $\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{b = 21,75}$ Agora, para determinar o valor de c, podemos considerar a seguinte igualdade da fórmula:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{15}{sen\, 42^{\circ}}= \frac{c}{sen \, 62^{\circ}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{c \cdot sen\, 42^{\circ} = 15\cdot sen\, 62^{\circ}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{c= \frac{15\cdot sen\, 62^{\circ}}{sen\, 42^{\circ}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{c= 19,79}$

Resolução da questão 2

Temos b = 15 cm, c = 9 cm e $\dpi{120} \beta = 45^{\circ}$ . Substituindo esses valores na fórmula da lei dos senos, temos que:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{sen\alpha}= \frac{15}{sen\, 45^{\circ}} = \frac{9}{sen\delta}}$

A partir da segunda igualdade, podemos determinar o valor de $\dpi{120} \delta$ :

$\dpi{120} \mathrm{\frac{15}{sen\, 45^{\circ}} = \frac{9}{sen\delta}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{15\cdot sen\, \delta = 9\cdot sen\, 45^{\circ}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{sen\, \delta = \frac{9\cdot sen\, 45^{\circ}}{15}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\delta = sen^{-1}\left ( \frac{9\cdot sen\, 45^{\circ}}{15}\right )}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\delta = 25,10^{\circ}}$

Uma vez que já conhecemos dois ângulos internos do triângulo, o ângulo $\dpi{120} \alpha$ pode ser determinado da seguinte forma:

$\dpi{120} \alpha + \beta + \delta = 180^{\circ}$

$\dpi{120} \alpha = 180^{\circ} - \beta - \delta$

$\dpi{120} \alpha = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 25,10^{\circ}$

$\dpi{120} \alpha = 109,9^{\circ}$

Agora, a partir da primeira igualdade da fórmula da lei dos senos, podemos determinar o valor do lado a:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{sen\, 109,9^{\circ}}= \frac{15}{sen\, 45^{\circ}} }$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{a\cdot sen\, 45^{\circ}= 15\cdot sen\, 109,9^{\circ}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{a= \frac{15\cdot sen\, 109,9^{\circ}}{sen\, 45^{\circ}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{a= 19,94}$

Resolução da questão 3

Como $\dpi{120} \beta = 21^{\circ}$ e $\dpi{120} \delta = 84^{\circ}$ , então:

$\dpi{120} \alpha = 180^{\circ} - 21 ^{\circ} -84^{\circ}$

$\dpi{120} \Rightarrow \alpha = 75^{\circ}$

Agora, para encontrar os valores dos lados a e b, vamos utilizar a lei dos senos:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{sen\alpha}= \frac{b}{sen\beta} = \frac{c}{sen\delta}}$

Substituindo os valores conhecidos nessa fórmula, temos que:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{sen\, 75^{\circ}}= \frac{b}{sen \, 21^{\circ}} = \frac{18}{sen \, 84^{\circ}}}$

Para encontrar o valor de b, vamos usar a segunda igualdade e aplicar a propriedade fundamental das proporções:

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{b}{sen \, 21^{\circ}} = \frac{18}{sen \, 84^{\circ}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{b \cdot sen\, 84^{\circ} = 18\cdot sen\, 21^{\circ}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{b = \frac{18\cdot sen\, 21^{\circ}}{ sen \, 84^{\circ}}}$ $\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{b = 6,48}$

Agora, para determinar o valor de a, podemos considerar a seguinte igualdade da fórmula:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{sen\, 75^{\circ}}= \frac{18}{sen \, 84^{\circ}}}$

$\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow a\cdot sen\, 84^{\circ} = 18\cdot sen\, 75^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow a= \frac{18\cdot sen\, 75^{\circ}}{sen\, 84^{\circ}}}$

$\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow a= 17,48}$

Resolução da questão 4

Temos a = 30 cm, c = 22 cm e $\dpi{120} \alpha = 59^{\circ}$ . Substituindo esses valores na fórmula da lei dos senos, temos que:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{30}{sen\59^{\circ}}= \frac{b}{sen\,\beta} = \frac{22}{sen\delta}}$

A partir da seguinte igualdade, podemos determinar o valor de $\dpi{120} \delta$ :

$\dpi{120} \mathrm{\frac{30}{sen\59^{\circ}} = \frac{22}{sen\delta}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{30\cdot sen\, \delta =22\cdot sen\, 59^{\circ}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{sen\, \delta = \frac{22\cdot sen\, 59^{\circ}}{30}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\delta = sen^{-1}\left ( \frac{22\cdot sen\, 59^{\circ}}{30}\right )}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\delta = 38,94^{\circ}}$

Uma vez que já conhecemos dois ângulos internos do triângulo, o ângulo $\dpi{120} \beta$ pode ser determinado da seguinte forma:

$\dpi{120} \alpha + \beta + \delta = 180^{\circ}$

$\dpi{120} \beta = 180^{\circ} - 59^{\circ} - 38,94^{\circ}$

$\dpi{120} \beta = 82,06^{\circ}$

Agora, a partir da primeira igualdade da fórmula da lei dos senos, podemos determinar o valor do lado b:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{30}{sen\59^{\circ}}= \frac{b}{sen\,\beta}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\frac{30}{sen\59^{\circ}}= \frac{b}{sen\, 82,06^{\circ}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{b \cdot sen\, 59^{\circ} = 30\cdot sen\, 82,06^{\circ}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{b = \frac{30\cdot sen\, 82,06^{\circ}}{sen\, 59^{\circ}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{b = 34,66}$

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