Fatorial

Aprenda o que é fatorial, saiba como calcular, simplificar e utilizar o fatorial nas fórmulas de permutação, arranjo e combinação.

Por Elainy Marciano Publicado em 01/09/2020 - 23:31

O fatorial de um número inteiro positivo $\dpi{120} \boldsymbol{n}$ é representado por $\dpi{120} \boldsymbol{n!}$ e corresponde ao produto entre $\dpi{120} \boldsymbol{n}$ e os números consecutivos menores que ele, até chegar ao número 1.

Para $\dpi{120} \boldsymbol{n\geq 2}$ , o fatorial é definido da seguinte forma:

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$\dpi{120} \boldsymbol{n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot ...\cdot 2\cdot 1}$

Lê-se: fatorial de n.

Já o fatorial de 0 e 1 são definidos como:

$\dpi{120} \boldsymbol{0! = 1}$
$\dpi{120} \boldsymbol{1!=1}$

Como calcular fatorial

Para calcular o fatorial de um número, basta multiplicar o número por todos os outros números inteiros menores que ele, até chegar ao número 1.

Exemplos:

$\dpi{120} 2! = 2\cdot 1 = 2$

$\dpi{120} 3! = 3\cdot 2\cdot 1 = 6$ $\dpi{120} 4! = 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 24$ $\dpi{120} 5! = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 120$

$\dpi{150} \vdots$

$\dpi{120} 10! = 10\cdot 9\cdot 8\cdot ...\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 3\, 628\, 800$

Simplificação de fatorial

Na divisão entre números fatoriais, podemos fazer a simplificação, que consiste em escrever o fatorial de forma conveniente para cancelar alguns termos.

Exemplo:

$\dpi{150} \frac{6!}{4!}=?$

Observe que $\dpi{120} 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$ e que $\dpi{120} 6! = 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$ , então, podemos reescrever $\dpi{120} 6!$ da seguinte forma:

$\dpi{120} 6! = 6\cdot 5\cdot 4!$

Assim, temos que:

$\dpi{120} \frac{6!}{4!}= \frac{6\cdot 5\cdot 4!}{4!} = \frac{6\cdot 5\cdot \cancel{4!}}{\cancel{4!}} = 6\cdot 5 = 30$

Outros exemplos:

$\dpi{120} \frac{20!}{19!}= \frac{20\cdot 19!}{19!} = \frac{20\cdot \cancel{19!}}{\cancel{19!}} =20$

$\dpi{120} \frac{5!}{8!}= \frac{5!}{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!} = \frac{\cancel{5!}}{8\cdot 7\cdot6\cdot \cancel{5!}} = \frac{1}{8\cdot 7\cdot6} =\frac{1}{336}$

$\dpi{120} \frac{n!}{(n-2)!}= \frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)!}{(n-2)!} = \frac{n\cdot (n-1)\cdot \cancel{(n-2)!}}{\cancel{(n-2)!}} = n\cdot (n-1)$

Análise combinatória e fatorial

Em combinatória, as técnicas são usadas para contagens do número de possibilidades em que elementos podem ser organizados sem precisar enumerar todas as possibilidades.

Por exemplo, de quantas formas possíveis 3 alunos podem ser organizados em uma fila?

1ª possibilidade: Aluno 1, Aluno 2, Aluno 3
2ª possibilidade: Aluno 1, Aluno 3, Aluno 2
3ª possibilidade: Aluno 2, Aluno 1, Aluno 3
4ª possibilidade: Aluno 2, Aluno 3, Aluno 2
5ª possibilidade: Aluno 3, Aluno 1, Aluno 2
6ª possibilidade: Aluno 3, Aluno 2, Aluno 1

Então, há 6 possibilidades diferentes de organizar os 3 alunos em fila. Agora, suponha que sejam 8 alunos. Qual o número de possibilidades?

São 40320 possibilidades. Como sabemos disso? Usando fatorial!

O número de possibilidades é igual ao fatorial do número de alunos:

$\dpi{120} 8! = 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=40320$