Fórmulas de adição e subtração de arcos

Conheça as fórmulas de soma e subtração de arcos, que são utilizadas para resolver muitos problemas trigonométricos.

As fórmulas de adição e subtração de arcos são utilizadas em muitos problemas trigonométricos que envolvem as funções seno e cosseno.

Ao contrário do se possa imaginar, nem sempre o seno ou cosseno de uma soma de dois ângulos é igual à soma dos senos ou cossenos dos ângulos.

De forma equivalente, nem sempre o seno ou cosseno de uma subtração de dois ângulos é igual à subtração dos senos ou cossenos dos ângulos.

Observe, por exemplo, que:

\dpi{120} \mathrm{seno(60^{\circ}+ 30^{\circ}) \neq seno( 60^{\circ}) + seno( 30^{\circ})}

Pois,

\dpi{120} \mathrm{seno(60^{\circ}+ 30^{\circ}) = seno(90^{\circ}) = 1 }

E \dpi{120} \mathrm{seno (60^{\circ}) + seno (30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}\simeq 1, 37}Então, apesar de algumas vezes essa relação ser verdadeira, para muitos valores ela não é. O mesmo vale para o cosseno.

Veja, a seguir, as fórmulas de adição e diferença de arcos que são verdadeiras para quaisquer valores.

Fórmulas de soma e subtração de arcos

Considerando dois arcos \dpi{120} \boldsymbol{\alpha}\, e\, \boldsymbol{\beta}, expressos em graus ou radianos, as fórmulas de soma de arcos e de subtração de arcos, válidas para todos os valores, são apresentadas a seguir.

Seno da soma de dois arcos

\dpi{120} \mathbf{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta}) = sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} + sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}

Seno da subtração de dois arcos

\dpi{120} \mathbf{sen(\boldsymbol{\alpha - \beta}) = sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} - sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}

Cosseno da soma de dois arcos

\dpi{120} \mathbf{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta}) = cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} - sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}

Cosseno da subtração de dois arcos

\dpi{120} \mathbf{cos(\boldsymbol{\alpha - \beta}) = cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} + sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}

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