Ângulos notáveis

Aprenda o que são e quais são os principais ângulos notáveis para facilitar seus estudos de trigonometria! Veja uma tabela de ângulos notáveis e as demonstrações do seno e cosseno.


Os ângulos notáveis são os ângulos mais utilizados em trigonometria: 0°, 30°, 45°, 60° e 90°.

Por isso, é comum precisar do valor das funções trigonométricas, seno, cosseno e tangente, desses ângulos.

Veja, a seguir, uma tabela com os ângulos notáveis. Ela será muito útil na hora dos estudos!

Tabela de ângulos notáveis

Na tabela de ângulos notáveis são apresentados os valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos 0°, 30°, 45°, 60° e 90°.

Essa é uma daquelas tabelas para você ter sempre em mãos na hora de fazer exercícios de trigonometria ou até mesmo decorar, já que são valores muito utilizados.

Tabela de Ângulos notáveis
Tabela de ângulos notáveis.

Para saber o valor do seno de 30°, por exemplo, basta consultar a 1ª linha e 2ª coluna da tabela: seno de 30° = 1/2.

Mas de onde vem esses valores? Veja, a seguir, a demonstração dos valores do seno e cosseno de 30°, 45° e 60°.

Seno e o cosseno de 30° e 60°

Para demonstrar que os valores do seno e cosseno de 30° e 60° são os valores apresentados na tabela anterior, basta considerar um triângulo que tenha como ângulos internos esses dois ângulos notáveis.

Assim, consideramos um triângulo equilátero de lado l qualquer. Uma propriedade dos triângulos equiláteros, é que os ângulos internos são todos iguais e medem, cada um, 60°.

Além disso, traçando o segmento h que corresponde à altura de um triângulo equilátero, obtemos dois triângulos congruentes, cada um com ângulos internos de 30°, 60° e 90° e lados \dpi{120} l\dpi{120} \frac{l}{2} e \dpi{120} h.

Seno e cosseno de 30° e 60°

Observe que cada um dos triângulos é um triângulo retângulo. Assim, podemos aplicar o teorema de Pitágoras, considerando hipotenusa igual a \dpi{120} l e catetos \dpi{120} h\dpi{120} \frac{l}{2} e mostrar que a altura de um triângulo equilátero é dada por:

\dpi{120} h = \frac{l\sqrt{3}}{2}

Agora, os três lados do triângulo retângulo dependem apenas de um único valor desconhecido, o valor \dpi{120} l.

Vamos aplicar as relações de seno e cosseno de cada um dos ângulos.

\dpi{120} seno = \frac{cateto\: oposto}{hipotenusa}   e    \dpi{120} cosseno= \frac{cateto\: adjacente}{hipotenusa}

Em que a hipotenusa é sempre igual a \dpi{120} l e os catetos variam de acordo com o ângulo.

Seno e cosseno de 30°:

Em relação ao ângulo de 30°, temos:

hipotenusa \dpi{120} = l
cateto oposto \dpi{120} =\frac{l}{2}
cateto adjacente \dpi{120} =h = \frac{l\sqrt{3}}{2}

Então:

\dpi{120} seno \: 30^{\circ} = \frac{\frac{l}{2}}{l}=\frac{l}{2}\cdot \frac{1}{l} = \frac{1}{2}

\dpi{120} cosseno \: 30^{\circ} = \frac{\frac{l\sqrt{3}}{2}}{l} = \frac{l\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{l} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Seno e cosseno de 60°:

Em relação ao ângulo de 60°, temos:

hipotenusa \dpi{120} = l
cateto oposto \dpi{120} =h = \frac{l\sqrt{3}}{2}
cateto adjacente \dpi{120} =\frac{l}{2}

Então:

\dpi{120} seno \: 60^{\circ} = \frac{\frac{l\sqrt{3}}{2}}{l} = \frac{l\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{l} = \frac{\sqrt{3}}{2}

\dpi{120} cosseno \: 60^{\circ} = \frac{\frac{l}{2}}{l}=\frac{l}{2}\cdot \frac{1}{l} = \frac{1}{2}

Para calcular a tangente de qualquer um dos ângulos, basta utilizar a relação: \dpi{120} tangente \: \alpha = \frac{seno \: \alpha}{cosseno \: \alpha}

Seno e cosseno de 45°

Para determinar seno e cosseno de 45°, vamos considerar um quadrado de lado l e traçar a diagonal d.

Como os quatro ângulos internos de um quadrado medem 90°, com a diagonal vamos obter o ângulo que desejamos, pois 90° : 2 = 45°.

Seno e cosseno de 45°

Observe que a diagonal divide o quadrado em dois triângulos congruentes com ângulos internos iguais a 90°, 45° e 45° e lados \dpi{120} l\dpi{120} l e \dpi{120} d.

Pelo teorema de Pitágoras é possível mostrar que:

\dpi{120} d = l\sqrt{2}

Logo, temos um triângulo retângulo com:

hipotenusa \dpi{120} =d = l\sqrt{2}
cateto oposto \dpi{120} =l
cateto adjacente \dpi{120} =l

Então:

\dpi{120} seno \: 45^{\circ} = cosseno\: 45^{\circ} = \frac{l}{l\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

Observe ainda que:

\dpi{120} \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Assim, \dpi{120} seno \: 45^{\circ} = cosseno\: 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}

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