Princípio fundamental da contagem

O princípio fundamental da contagem (PFC) é um método de análise combinatória muito utilizado em problemas de probabilidade. Saiba como calcular!

Princípio fundamental da contagem (PFC) é um dos métodos de contagem de análise combinatória. Esse princípio nos permite calcular o número de combinações possíveis com elementos que podem ser obtidos de maneiras diferentes.

O PFC é um método simples, mas muito útil, sendo bastante utilizado em problemas de probabilidade, na determinação do número de eventos possíveis.

Princípio fundamental da contagem

Para explicar mais sobre o PFC, vamos utilizar alguns exemplos.

Exemplo 1

Para ir de sua casa até o zoológico, Júlio precisa pegar um ônibus que o leve até a estação e, na estação, ele precisa pegar outro ônibus.

Suponha que existem três linhas de ônibus que o leve até a estação, as linhas A1, A2 e A3, e que existem duas linhas que o levem da estação para o zoológico, as linhas B1 e B2. O esquema abaixo ilustra essa situação:

Análise combinatória

De quantas formas possíveis Júlio poderá ir de sua casa até o zoológico, combinando as linhas de ônibus disponíveis.

Pela ilustração, podemos ver que há 6 possibilidades no total. Contudo, podemos descobrir esse resultado mesmo sem a ilustração.

Pelo PFC, multiplicamos o número de linhas possíveis na primeira parte do trajeto pelo número de linhas possíveis na segunda parte:

  • De casa para a estação: Linhas A1, A2 e A3 → 3 maneiras diferentes;
  • Da estação para o zoológico: Linhas B1 e B2 → 2 maneiras diferentes;

\dpi{120} \boldsymbol{3 \times 2 = 6}

Exemplo 2

Em um restaurante, o cliente pode escolher entre 4 opções de entradas, 5 opções de prato principal e 3 opções de sobremesa. De quantas formas possíveis um cliente pode escolher a entrada, prato principal e sobremesa nesse restaurante?

  • Entrada: 4 opções;
  • Prato principal: 5 opções;
  • Sobremesa: 3 opções.

Pelo PFC, basta multiplicar essas três quantidades:\dpi{120} \boldsymbol{4 \times 5 \times 3 = 60}

Portanto, há 60 combinações possíveis que o cliente pode escolher, com uma entrada, um prato principal e uma sobremesa nesse restaurante.

Exemplo 3

Quantas palavras distintas podem ser formadas trocando-se a ordem das letras da palavra ESCOLA?

Veja que as letras da palavra escola não se repetem, são todas diferentes. Então, nas palavras formadas, também não poderá haver letras repetidas.

Considerando as 6 posições possíveis para as letras na palavra, temos:

  • 1ª posição: 6 letras disponíveis;
  • 2ª posição: 5 letras disponíveis;
  • 3ª posição: 4 letras disponíveis;
  • 4ª posição: 3 letras disponíveis;
  • 5ª posição: 2 letras disponíveis;
  • 6ª posição: 1 letra disponível.

Pelo PFC, basta multiplicar essas quantidades:

\dpi{120} \boldsymbol{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720}

Veja o quanto o PFC é importante! Sem ele, teríamos que escrever todas as possíveis palavras e depois contá-las para chegar no número 720.

As palavras formadas a partir das letras de outra, são chamadas de anagramas.

Probabilidade

O PFC tem bastante aplicação nos problemas de probabilidade. Utiliza-se o princípio para determinar o número de eventos possíveis em um experimento.

Exemplo:

Um dado é lançado três vezes seguidas e verifica-se a face obtida. Qual a probabilidade de que tenha saído face par no primeiro lançamento, face ímpar no segundo lançamento e face maior que 4 no terceiro lançamento?

Casos favoráveis:

  • 1º lançamento: 3 possibilidades (faces 2, 4 e 6);
  • 2º lançamento: 3 possibilidades (faces 1, 3 e 5);
  • 3º lançamento: 2 possibilidades (face 5 e 6).

Pelo PFC, para obter o número de casos favoráveis, basta multiplicar as quantidades:

\dpi{120} \boldsymbol{3 \times 3 \times 2 = 18}

Casos possíveis:

  • 1º lançamento: 6 possibilidades (faces 1, 2, 3, 4, 5 e 6);
  • 2º lançamento: 6 possibilidades (faces 1, 2, 3, 4, 5 e 6);
  • 3º lançamento: 6 possibilidades (faces 1, 2, 3, 4, 5 e 6).

Pelo PFC, também podemos obter o número de casos possíveis:

\dpi{120} \boldsymbol{6 \times 6\times 6 = 216}

Assim, podemos calcular a probabilidade desejada:

\dpi{120} \boldsymbol{P = \frac{Total \, de \, casos\, favor\acute{a}veis}{Total \, de\, casos \, possiveis} = \frac{18}{216} = \frac{1}{12} \approx 0,083}

Portanto, a chance de que tenha saído face par no primeiro lançamento, face ímpar no segundo lançamento e face maior que 4 no terceiro lançamento é de uma em doze, o que equivale a aproximadamente 0,083 ou 8,3%.

Análise combinatória

A partir do PFC são obtidas outras técnicas de contagens de elementos: permutação, arranjo e combinação.

Permutação

Permite calcular o número de possibilidades de organizar um total de n elementos, mudando as posições dos elementos entre si.

\dpi{120} P_n = n!

Arranjo

Permite calcular o número de possibilidades de organizar n elementos em grupos de tamanho p, quando a ordem dos elementos é importante dentro de cada grupo.

\dpi{120} A_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)!}

Combinação

Permite calcular o número de possibilidades de organizar n elementos em grupos de tamanho p, quando a ordem dos elementos não é importante dentro de cada grupo.

\dpi{120} C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}

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