Sequência numérica

Na matemática, há muitas sequências numéricas. Saiba o que são, o que é lei de formação, lei de recorrência e progressões aritméticas e geométricas.

Sequência numérica é um conjunto, finito ou infinito, de números sucessivos que seguem uma ordem pré-estabelecida, ou seja, há uma regra que define quais são os números do conjunto.

As sequências numéricas são escritas entre parênteses e para indicar uma sequência infinita, usa-se reticências (…).

Exemplos:

→ Sequência dos números pares:

(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, …)

É uma sequência numérica infinita, pois existem infinitos números pares.

→ Sequência dos números inteiros entre 10 e 20:

(10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20) 

É uma sequência numérica finita formada por 11 termos.

Lei de formação

A lei de formação é a regra que estabelece a formação dos termos de uma sequência numérica. A partir da lei de formação é possível obter qualquer termo da sequência numérica.

A lei de formação também é conhecida como fórmula do termo geral.

Exemplo:

Determine os 5 primeiros termos de uma sequência cuja lei de formação é \dpi{120} \mathrm{a_n = 3n}\dpi{120} \mathrm{n\in \mathbb{N}}.

Queremos determinar \dpi{120} \mathrm{a_1, a_2, a_3, a_4 \, e \, a_5}, para isso, basta substituir \dpi{120} \mathrm{n} por 1, 2, 3, 4 e 5 na lei de formação dada.

n = 1   → \dpi{120} \mathrm{a_1 = 3.1 = 3}
n = 2   → \dpi{120} \mathrm{a_2 = 3.2 = 6}
n = 3   → \dpi{120} \mathrm{a_3 = 3.3 = 9}
n = 4   → \dpi{120} \mathrm{a_4 = 3.4 = 12}
n = 5   → \dpi{120} \mathrm{a_5 = 3.5 = 15}

A sequência com essa lei de formação é (3, 6, 9, 12, 15, …).

Observe que se quisermos determinar o termo \dpi{120} \mathrm{a_{100}}, basta considerar n = 100 na lei de formação: \dpi{120} \mathrm{a_{100} = 3.100 = 300}.

Lei de recorrência

A lei de recorrência é uma regra que relaciona cada termo da sequência com o termo antecessor.

Assim, a partir da lei de recorrência, podemos determinar qualquer termo apenas conhecendo o número anterior.

Exemplo:

Determine os 4 primeiros termos de uma sequência que começa com o número 50 e a  lei de recorrência é \dpi{120} \mathrm{a_n = a_{n-1} -5} .

Sabemos que \dpi{120} \mathrm{a_1= 50}, então, podemos determinar \dpi{120} \mathrm{a_2}:

\dpi{120} \mathrm{a_2 = a_1 - 5 = 50 - 5 = 45}

Agora, utilizando \dpi{120} \mathrm{a_2 = 45}, determinamos \dpi{120} \mathrm{a_3}:

\dpi{120} \mathrm{a_3 = a_2 - 5 = 45 - 5 = 40}

Por fim, utilizando \dpi{120} \mathrm{a_3 = 40}, determinamos \dpi{120} \mathrm{a_4}:

\dpi{120} \mathrm{a_4 = a_3 - 5 = 40 - 5 = 35}

A sequência com essa lei de recorrência é (50, 45, 40, 35, …).

Progressão aritmética e progressão geométrica

Progressão aritmética (PA) e progressão geométrica (PG) são tipos de sequências numéricas muito comuns na matemática.

Nas questões de concurso e vestibular são as sequências mais abordadas e merecem uma atenção especial.

Progressão aritmética

É toda sequência numérica em que a diferença entre um termo e o seu antecessor é sempre o mesmo valor. Esse valor é chamado de razão (r) da PA.

(39, 45, 51, 57, 63, 69, …) → PA de razão r = 6.

(18, 16, 14, 12, 10, 8, …) → PA de razão r = – 2.

Progressão geométrica

É toda sequência numérica em que o quociente entre um termo e seu antecessor é sempre o mesmo valor. Esse valor é chamado de razão (q) da PG.

(7, 21, 63, 189, 567, …)  → PG de razão q = 3.

(-8, 16, -32, 64, -128, …) → PG de razão q = -2.

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