Solução de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas através da representação gráfica

A partir do gráfico das equações das retas, podemos determinar o tipo de solução de um sistema de duas equações. Saiba como!


A solução de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas, quando existe e é única, é um par ordenado (x, y) que satisfaz às duas equações, simultaneamente.

Em algumas situações, a solução do sistema pode não ser única e infinitos pares ordenados satisfazem às duas equações. Já em outros casos, pode ser que não exista nenhum par ordenado que seja solução.

Dessa forma, o sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas pode ser classificado em três diferentes tipos em relação à quantidade de soluções.

  1. Sistema possível determinado: possui uma única solução;
  2. Sistema possível indeterminado: possui infinitas soluções;
  3. Sistema impossível: não possui solução.

Essas três situações possíveis podem ser verificadas através do gráfico com as duas retas correspondentes às equações do sistema.

Solução de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas através do gráfico

Para determinar a solução de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas através da representação gráfica, devemos construir, no plano cartesiano, as duras retas correspondentes às equações do sistema.

Caso 1) Sistema possível determinado

Se as retas são concorrentes, isto é, se cruzam em um único ponto, então, esse ponto satisfaz às duas retas ao mesmo tempo. Portanto, o sistema é possível determinado e a solução é dada pelas coordenadas do ponto onde as retas se cruzam.

Exemplo: \dpi{120} \mathrm{\left\{\begin{matrix} \mathrm{2x + y = 1}\\ \mathrm{x - y = 5 }\end{matrix}\right.}

As retas correspondentes às equações são Reta 1: y = -2x + 1 e Reta 2: y = x – 5. Para construir o gráfico das retas, basta atribuir valores para x e encontrar o valor de y associado. Ligando-se todos os pontos, obtém-se o gráfico.

Gráfico sistema SPD

Veja que as retas são concorrentes e que o ponto (2, -3) pertence as duas retas. Logo, a solução do sistema é o par ordenado (x, y) = (2, -3).

Caso 2) Sistema possível indeterminado

Se as retas são coincidentes, então, qualquer ponto de uma reta também é um ponto da outra reta. Portanto, o sistema é possível indeterminado e as coordenadas de qualquer ponto que pertença a essas retas, é solução do sistema.

Exemplo: \dpi{120} \mathrm{\left\{\begin{matrix} \mathrm{3x - 9y = -6}\\ \mathrm{x - 3y = -2 }\end{matrix}\right.}

Gráfico sistema SPI

Veja que as retas são coincidentes e que pontos como (1,1) e (4,2) pertencem às duas retas. Logo, o sistema possui infinitas soluções.

Caso 3) Sistema impossível

Se as retas são paralelas, ou seja, nunca se cruzam, então, não há nenhum ponto em comum entre essas retas. Portanto, o sistema é impossível, não admite nenhuma solução.

Exemplo: \dpi{120} \mathrm{\left\{\begin{matrix} \mathrm{6x - 3y = 5}\\ \mathrm{-2x + y = -6}\end{matrix}\right.}

Gráfico sistema SI

Veja que as retas são paralelas e que não há nenhum ponto em comum entre elas. Logo, o sistema não possui solução.

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