Os polinômios possuem muitas aplicações na matemática, na física, na economia, nas engenharias, entre outras áreas correlatas. Isso acontece porque muitas situações reais podem ser descritas por polinômios e ser estudadas a partir deles.
Contudo, as expressões envolvendo polinômios podem ser de estrutura complexa e extensa, o que dificulta a manipulação e compreensão das mesmas. Por isso, no estudo de polinômios, sempre buscamos simplificá-los através da fatoração.
A fatoração de polinômios nada mais é do que expressar o polinômio através de uma multiplicação entre dois ou mais termos, ou seja, através de fatores.
Nesse texto, vamos te mostrar como é feita a fatoração da soma de dois cubos.
Soma de dois cubos
A soma de dois cubos é um polinômio de dois termos que estão elevados ao cubo:
A fatoração da soma de dois cubos é feita da seguinte forma:
Podemos conferir que isso é verdade, aplicando a propriedade distributiva (o famoso “chuveirinho”) nos fatores:
Veja que a partir dessa multiplicação, obtemos a soma de dois cubos, como esperado.
Assim, em qualquer fração algébrica onde apareça um polinômio do tipo x³ + y³, podemos substituí-lo por (x + y).(x² – xy + y²). Dessa forma, teremos a chance de cancelar fatores comuns e simplificar a fração algébrica.
Exemplo 1: Escreva a forma fatorada de x³ + 27.
Veja que 27 = 3³, então, x³ + 27 = x³ + 3³ é uma soma de dois cubos. Logo, podemos utilizar a fatoração vista anteriormente:
x³ + 27
= x³ + 3³
= (x+ 3) . (x² – 3x + 3²)
= (x + 3) . (x² – 3x + 9)
Exemplo 2: Simplifique a fração algébrica .
Veja que 8y³ = (2y)³, então, x³ + 8y³ = x³ + (2y)³ é uma soma de dois cubos. Assim, podemos fatorar e simplificar:
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