Soma de dois cubos

Entenda o que é a soma de dois cubos, como fazer sua fatoração e exemplos de como calcular para simplificar cálculos com polinômios!

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Os polinômios possuem muitas aplicações na matemática, na física, na economia, nas engenharias, entre outras áreas correlatas. Isso acontece porque muitas situações reais podem ser descritas por polinômios e ser estudadas a partir deles.

Contudo, as expressões envolvendo polinômios podem ser de estrutura complexa e extensa, o que dificulta a manipulação e compreensão das mesmas. Por isso, no estudo de polinômios, sempre buscamos simplificá-los através da fatoração.

A fatoração de polinômios nada mais é do que expressar o polinômio através de uma multiplicação entre dois ou mais termos, ou seja, através de fatores.

Nesse texto, vamos te mostrar como é feita a fatoração da soma de dois cubos.

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Soma de dois cubos

A soma de dois cubos é um polinômio de dois termos que estão elevados ao cubo:

\dpi{120} \mathbf{x^3 + y^3}

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A fatoração da soma de dois cubos é feita da seguinte forma:

\dpi{120} \mathbf{x^3 + y^3 = (x+y)\cdot (x^2 -xy+y^2)}

Podemos conferir que isso é verdade, aplicando a propriedade distributiva (o famoso “chuveirinho”) nos fatores:

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\dpi{120} \mathrm{ (x+y)\cdot (x^2 -xy+y^2) }

\dpi{120} \mathrm{ = x^3 - \cancel{\mathrm{x^2y}} + \cancel{\mathrm{xy^2}} +\cancel{\mathrm{x^2y}}- \cancel{\mathrm{xy^2}} +y^3 }

\dpi{120} \mathrm{=x^3 + y^3}

Veja que a partir dessa multiplicação, obtemos a soma de dois cubos, como esperado.

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Assim, em qualquer fração algébrica onde apareça um polinômio do tipo x³ + y³, podemos substituí-lo por (x + y).(x² – xy + y²). Dessa forma, teremos a chance de cancelar fatores comuns e simplificar a fração algébrica.

Exemplo 1: Escreva a forma fatorada de x³ + 27.

Veja que 27 = 3³, então, x³ + 27 = x³ + 3³ é uma soma de dois cubos. Logo, podemos utilizar a fatoração vista anteriormente:

x³ + 27

= x³ + 3³

= (x+ 3) . (x² – 3x + 3²)

= (x + 3) . (x² – 3x + 9)

Exemplo 2: Simplifique a fração algébrica \dpi{120} \mathrm{\frac{x^3 + 8y^3}{x + 2y}}.

Veja que 8y³ = (2y)³, então, x³ + 8y³ = x³ + (2y)³ é uma soma de dois cubos. Assim, podemos fatorar e simplificar:

\dpi{120} \mathrm{\frac{x^3 + 8y^3}{x + 2y} = \frac{\cancel{(\mathrm{x+2y})}(x^2 - 2xy + 4y^2)}{\cancel{(\mathrm{x+2y})}} = x^2 - 2xy + 4y^2}

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