Soma dos termos de uma PG finita
Saiba qual é a fórmula para calcular a soma dos termos de uma PG finita, veja exemplos e a demonstração da fórmula.
A Pogressão Geométrica (PG) é uma sequência numérica em que o quociente entre dois termos consecutivos é sempre igual a um mesmo valor, uma constante q.
Quando a PG possui finitos termos, ela é dita uma PG finita. Por outro lado, quando a PG possui infinitos termos, ela é uma PG infinita.
Exemplos:
a) (2, 4, 8, 16, 32, 64) → PG finita de razão q = 2
b) (2, 6, 18, 54, 162, 486, …) → PG infinita de razão q = 3
A seguir, vamos ver uma fórmula que permite calcular a soma dos termos de uma PG finita, ou então, a soma dos n primeiros termos de uma PG infinita.
Soma dos termos de uma PG finita
Para obter a soma de n termos de uma PG, só precisamos saber o primeiro termo e a razão da PG, pois a fórmula dos termos de uma PG finita é:
Em que:
: quantidade de termos que desejamos somar;
: é o primeiro termo da PG;
: razão da PG.
Exemplo:
Determine a soma dos 10 primeiros termos da PG (1, 3, 9, 27, 81, …).
Primeiro, determinamos a razão: q = 3/1 = 9/3 =27/9 = 81/27 = 3. Sendo , temos que:
Demonstração:
Para verificar que essa fórmula, de fato, nos permite obter a soma dos n termos de uma PG, considere uma PG com n = 6 termos:
A soma dos termos dessa PG é:
Como multiplicar ambos os lados de uma equação por um mesmo valor não altera a equação, vamos multiplicar ambos os lados pela razão q da PG:
Agora, lembrando que a razão q da PG é calculada sempre como o quociente entre um termo e o termo anterior a ele, ou seja:
Temos que:
Substituindo esses termos na última expressão da soma e cancelando os fatores comuns, temos que:
Uma vez que , então,
. Dessa forma, podemos escrever a última expressão como:
Agora, fazemos algumas manipulações algébricas buscando isolar :
Por fim, considerando a fórmula do termo geral de uma PG, temos que . Substituindo na expressão anterior, temos:
Assim, para um n qualquer, obtemos a seguinte fórmula da soma dos n termos da PG:
Você também pode se interessar:
- Progressão aritmética
- Lista de exercícios de progressão aritmética
- Lista de exercícios de progressão geométrica
Os comentários estão fechados, mas trackbacks E pingbacks estão abertos.