Soma dos termos de uma PG finita

Saiba qual é a fórmula para calcular a soma dos termos de uma PG finita, veja exemplos e a demonstração da fórmula.

A Pogressão Geométrica (PG) é uma sequência numérica em que o quociente entre dois termos consecutivos é sempre igual a um mesmo valor, uma constante q.

Quando a PG possui finitos termos, ela é dita uma PG finita. Por outro lado, quando a PG possui infinitos termos, ela é uma PG infinita.

Exemplos:

a) (2, 4, 8, 16, 32, 64) → PG finita de razão q = 2

b) (2, 6, 18, 54, 162, 486, …) → PG infinita de razão q = 3

A seguir, vamos ver uma fórmula que permite calcular a soma dos termos de uma PG finita, ou então, a soma dos n primeiros termos de uma PG infinita.

Soma dos termos de uma PG finita

Para obter a soma de n termos de uma PG, só precisamos saber o primeiro termo e a razão da PG, pois a fórmula dos termos de uma PG finita é:

\dpi{120} \mathbf{S_n= \frac{a_1\cdot (q^n -1)}{q -1}}

Em que:

  • \dpi{120} \mathbf{n}: quantidade de termos que desejamos somar;
  • \dpi{120} \mathbf{a_1}: é o primeiro termo da PG;
  • \dpi{120} \mathbf{q}: razão da PG.

Exemplo:

Determine a soma dos 10 primeiros termos da PG (1, 3, 9, 27, 81, …).

Primeiro, determinamos a razão: q = 3/1 = 9/3 =27/9 = 81/27 = 3. Sendo \dpi{120} \mathrm{a_1 = 1}, temos que:

\dpi{120} \mathrm{S_{10}= \frac{1\cdot (3^{10} -1)}{3 -1} } = 29.524

Demonstração:

Para verificar que essa fórmula, de fato, nos permite obter a soma dos n termos de uma PG, considere uma PG com n = 6 termos:

\dpi{120} \mathrm{PG:\, (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6)}

A soma dos termos dessa PG é:

\dpi{120} \mathrm{S_6 = a_1 + a_2+ a_3+ a_4+ a_5+ a_6}

Como multiplicar ambos os lados de uma equação por um mesmo valor não altera a equação, vamos multiplicar ambos os lados pela razão q da PG:

\dpi{120} \mathrm{S_6\cdot q = (a_1 + a_2+ a_3+ a_4+ a_5+ a_6)\cdot q}

\dpi{120} \mathrm{S_6\cdot q = a_1\cdot q + a_2\cdot q+ a_3\cdot q+ a_4\cdot q+ a_5\cdot q+ a_6\cdot q}

Agora, lembrando que a razão q da PG é calculada sempre como o quociente entre um termo e o termo anterior a ele, ou seja:

\dpi{120} \mathrm{q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = ... = \frac{a_6}{a_5} }

Temos que:

\dpi{120} \mathrm{a_1 = \frac{a_2}{q}, a_2 = \frac{a_3}{q} , ..., a_5 = \frac{a_6}{q}}

Substituindo esses termos na última expressão da soma e cancelando os fatores comuns, temos que:

\dpi{120} \mathrm{S_6\cdot q = \frac{a_2}{\cancel{\mathrm{q}}}\cdot \cancel{\mathrm{q}} + \frac{a_3}{\cancel{\mathrm{q}}}\cdot \cancel{\mathrm{q}}+ \frac{a_4}{\cancel{\mathrm{q}}}\cdot \cancel{\mathrm{q}}+ \frac{a_5}{\cancel{\mathrm{q}}}\cdot \cancel{\mathrm{q}}+ \frac{a_6}{\cancel{\mathrm{q}}}\cdot \cancel{\mathrm{q}}+ a_6\cdot q}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{S_6\cdot q = a_2+a_3+ a_4 +a_5+a_6+ a_6\cdot q}

Uma vez que \dpi{120} \mathrm{a_1 + a_2+ a_3+ a_4+ a_5+ a_6 = S_6}, então, \dpi{120} \mathrm{a_2+ a_3+ a_4+ a_5+ a_6 = S_6 - a_1}. Dessa forma, podemos escrever a última expressão como:

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{S_6\cdot q = S_6 - a_1+ a_6\cdot q}

Agora, fazemos algumas manipulações algébricas buscando isolar \dpi{120} \mathrm{S_6}:

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{S_6\cdot q - S_6= - a_1+ a_6\cdot q}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{S_6(q -1)= - a_1+ a_6\cdot q}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{S_6= \frac{a_6\cdot q- a_1}{q -1} }

Por fim, considerando a fórmula do termo geral de uma PG, temos que \dpi{120} \mathrm{a_6 = a_1.q^{5}}. Substituindo na expressão anterior, temos:

\dpi{120} \mathrm{S_6= \frac{a_1\cdot (q^6 -1)}{q -1} }

Assim, para um n qualquer, obtemos a seguinte fórmula da soma dos n termos da PG:

\dpi{120} \mathrm{S_n= \frac{a_1\cdot (q^n -1)}{q -1} }

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