Soma dos termos de uma PG infinita

Conheça a fórmula para calcular a soma de infinitos termos de uma Progressão Geométrica. Veja exemplos e a demonstração da fórmula.

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Em uma Progressão Geométrica (PG) finita, com primeiro termo \dpi{120} \mathrm{a_1} e razão \dpi{120} \mathrm{q} podemos calcular a soma de n termos a partir da seguinte fórmula:

\dpi{120} \mathrm{S_n = \frac{a_1\cdot (q^n -1)}{q -1}}

Mas existem sequências que são infinitas, ou seja, não temos um valor específico de n. Então, como calcular a soma dos termos desse tipo de PG?

Veja a seguir, uma fórmula para calcular a soma dos termos de uma PG infinita.

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Soma dos termos de uma PG infinita

A fórmula da soma dos termos de uma PG infinita, com razão \dpi{120} \mathrm{-1<q<1}, é:

\dpi{120} \mathbf{S_\infty = \frac{a_1}{1-q}}

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Em que:
  • \dpi{120} \mathbf{a_1}: primeiro termo da PG;
  • \dpi{120} \mathbf{q}: razão da PG.

Observações:

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  • A soma dos termos de uma PG infinita pode ser obtida conhecendo-se apenas os dois primeiros termos da sequência.
  • A fórmula só vale se \dpi{120} \mathrm{-1<q<1}, ou seja, apenas se q for um valor entre -1 e 1.

Exemplo: 

Determine a soma dos termos da PG infinita (27, 9, 3, 1, 1/3, …).

Primeiro, determinamos a razão: q = 1/3 = 0,333….

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Portanto, temos \dpi{120} \mathrm{-1<q<1} e podemos usar a fórmula. Sendo \dpi{120} \mathrm{a_1 = 27}, temos que:

\dpi{120} \mathrm{S_{\infty } = \frac{27}{1-1/3} = \frac{81}{2} = 40,5}

Observe que se somarmos os 5 primeiros termos da sequência, que foram dados, obtemos um valor bem próximo da soma dos infinitos termos: 27 + 9 + 3 + 1 + 1/3 = 40,33.

Isso acontece porque a sequência é decrescente e os próximos termos da sequência são cada vez menores, se aproximando de zero.

Agora, vamos ver uma demonstração dessa fórmula, para verificar o porquê dela realmente nos permitir obter a soma dos termos de uma PG infinita.

Demonstração:

Considere a fórmula da soma de n termos de uma PG:

\dpi{120} \mathrm{S_n = \frac{a_1\cdot (q^n -1)}{q -1}}

Essa fórmula apenas nos permite calcular a soma de n termos, ou seja, de uma quantidade finita de termos. Então, suponha uma PG finita, mas com uma quantidade bem grande de termos, ou seja, n sendo um número bem grande.

Nessa situação, se \dpi{120} \mathrm{-1<q<1}, então, \dpi{120} \mathrm{q^n} será um número bem pequeno, que se aproximará cada vez mais de zero à medida que o valor de n aumenta.

Por exemplo, com q = 0,5 e n = 10, temos \dpi{120} \mathrm{q^n = 0,5^{10} = 0,000976} , que já é um número bem pequeno, e se aumentarmos para n = 20, teremos um número menor ainda, \dpi{120} \mathrm{q^n = 0,5^{20} = 0,000000953}. Assim, você já pode imaginar que se n = 100.000.000, o número obtido seria praticamente igual a zero.

De modo formal, isso é expresso através de um limite. Sendo \dpi{120} \mathrm{-1<q<1}, então:

\dpi{120} \mathrm{\lim_{n \to \infty }q^n = 0}

Desse modo, podemos considerar \dpi{120} \mathrm{q^n = 0} na fórmula da soma dos n termos de uma PG, obtendo:

\dpi{120} \mathrm{S_n = \frac{a_1\cdot (q^n -1)}{q -1} = \frac{a_1\cdot (0 -1)}{q -1} = \frac{-a_1}{q -1}}

Multiplicando os termos da última fração por -1, temos que:

\dpi{120} \mathrm{S_n = \frac{a_1}{1-q}}

Ou, usando o símbolo de infinito, já que n se aproxima do infinito, temos que:

\dpi{120} \mathrm{S_{\infty} = \frac{a_1}{1-q}}

Que é a fórmula que queríamos demonstrar, da soma dos termos de uma PG infinita.

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