Trigonometria em um triângulo qualquer

Aprenda as leis de trigonometria que relacionam os ângulos e lados de qualquer triângulo, seja ele retângulo ou não.

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Embora a trigonometria seja comumente associada ao estudo do triângulo retângulo, envolvendo hipotenusa e catetos oposto e adjacente, a trigonometria é uma parte da matemática que se encarrega das relações entre lados e ângulos de triângulos em geral.

Relembre os tipos de triângulos:

  • Triângulo retângulo: é o triângulo que possui um ângulo de 90°;
  • Triângulo acutângulo: é o triângulo que possui os três ângulos menores que 90°;
  • Triângulo obtusângulo: é o triângulo que possui um ângulo maior que 90°.
Triângulo retângulo
Triângulo retângulo.
Triângulo acutângulo
Triângulo acutângulo.
Triângulo obtusângulo
Triângulo obtusângulo.

No triângulo retângulo, utiliza-se as relações trigonométricas. Já as leis que vamos ver a seguir, lei dos senos e cossenos, ainda que possam ser utilizadas em qualquer triângulo, são mais usadas nos triângulos acutângulos e obtusângulos.

Lei dos senos

A lei dos senos diz que, em um triângulo qualquer, os quocientes entre as medidas dos lados e os senos dos ângulos opostos são iguais.

Lei dos senos

Exemplo: Em um triângulo com \dpi{120} \beta = 30^{\circ}, \dpi{120} \delta = 100^{\circ} e b = 20 cm, determine a medida do terceiro ângulo e dos outros lados.

Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180°, ou seja:

\dpi{120} \alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}

Então:

\dpi{120} \alpha = 180^{\circ} - \beta - \gamma

\dpi{120} \alpha = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 100^{\circ}

\dpi{120} \alpha = 50^{\circ}

Pela lei dos senos, temos a seguinte relação:

\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{sen\, 50^{\circ}} = \frac{20}{sen\, 30^{\circ}} = \frac{c}{sen\, 100^{\circ}}}

Considerando a primeira igualdade, podemos determinar o valor do lado a:

\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{sen\, 50^{\circ}} = \frac{20}{sen\, 30^{\circ}} }

Multiplicamos cruzado:

\dpi{120} \mathrm{a\cdot sen\, 30^{\circ} = 20\cdot sen\, 50^{\circ}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{a = \frac{20\cdot sen\, 50^{\circ}}{sen\, 30^{\circ}}}

\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow a \approx 30,64}

Os valores do seno e cosseno podem ser obtidos através de uma calculadora ou de uma tabela trigonométrica.

Agora, considerando a segunda igualdade, podemos determinar o valor do lado c:

\dpi{120} \mathrm{ \frac{20}{sen\, 30^{\circ}} = \frac{c}{sen\, 100^{\circ}}}

Multiplicamos cruzado:

\dpi{120} \mathrm{c\cdot sen\, 30^{\circ} = 20\cdot sen\, 100^{\circ}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{c = \frac{20\cdot sen\, 100^{\circ}}{sen\, 30^{\circ}}}

\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow c \approx 39,39}

Lei dos cossenos

A lei dos cossenos é composta de três equações que relacionam o quadrado de cada lado aos outros dois lados e ao cosseno do ângulo oposto ao lado.

Lei dos cossenos

A partir da lei dos cossenos, podemos determinar as medidas desconhecidas quando sabemos os valores dos três lados ou quando sabemos dois lados e um ângulo compreendido entre eles.

Exemplo: Em um triângulo com lados a = 18, b = 25 e c = 30, determine a medida do ângulo \dpi{120} \alpha.

Vamos utilizar a primeira equação da lei dos cossenos para encontrar o ângulo \dpi{120} \alpha:

\dpi{120} \mathrm{a^2 = b^2 + c^2 - 2\cdot b\cdot c\cdot cos\, \alpha}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{18^2 = 25^2 + 30^2 - 2\cdot 25\cdot 30\cdot cos\, \alpha}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{324 = 625 + 900 - 1500\cdot cos\, \alpha}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{324 - 625 - 900= - 1500\cdot cos\, \alpha}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{-1221= - 1500\cdot cos\, \alpha}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{cos\, \alpha = \frac{1221}{1500}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\alpha = cos^{-1} \left ( \frac{1221}{1500} \right )}

\dpi{120} \Rightarrow \alpha \approx 36^{\circ}

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