Trinômio do tipo x² + Sx + P

Entenda o que é um trinômio do tipo x² + Sx + P, como encontrar as raízes da equação e fazer a fatoração desse tipo de trinômio.

Por Elainy Marciano Publicado em 19/11/2020 - 17:41

O trinômio do tipo X² + SX + P é um trinômio que não se encaixa como trinômio quadrado perfeito e sua fatoração é feita de um modo diferente.

Lembre-se que trinômio quadrado perfeito são apenas aqueles que podem ser fatorados como um quadrado perfeito. Por exemplo, x² + 8x + 16 = (x + 4)², então x² + 8x + 16 é um trinômio quadrado perfeito.

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Agora, observe o trinômio x² – 3x + 9, ele não é um trinômio quadrado perfeito, mas é um trinômio do tipo X² + SX + P com S = -3 e P = 9.

Vamos ver então como encontrar as raízes de uma equação do tipo X² + SX + P = 0 e fatorar o trinômio do tipo X² + SX + P.

Raízes da equação X² + SX + P = 0

As raízes da equação do tipo X² + SX + P = 0 podem ser determinadas de duas formas diferentes, pelo uso da fórmula de Bháskara ou pelo método da soma e produto.

Exemplo: Determine as raízes da equação x² + 5x + 6 = 0.

O trinômio x² + 5x + 6 não é um trinômio quadrado perfeito, mas é um trinômio do tipo X² + SX + P com S = 5 e P = 6. Vamos determinar suas raízes.

1º) Pela fórmula de Bháskara:

$\dpi{120} \mathrm{x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4.1.6}}{2.1} = \frac{-5 \pm 1}{2}}$

Então:

$\dpi{120} x_1 = \frac{5 +1}{2} = \frac{6}{2}=3$ e $\dpi{120} x_2 = \frac{5 -1}{2} = \frac{4}{2}=2$

Portanto, as raízes da equação são 3 e 2.

2º) Pelo método da soma e produto:

Em x² + 5x + 6 = 0, podemos observar que:

S = 5
P = 6

Então, começamos por determinar todos os pares de números cujo produto seja igual a 6:

1 × 6 = 6
2 × 3 = 6
(-1) × (- 6) = 6
(-2) × (-3) = 6

Em seguida, somamos cada um desses pares de números, buscando o par cuja soma é 5:

1 + 6 = 7
2 + 3 = 5
(-1) + (- 6) = -7
(-2) + (-3) = -5

Portanto, por esse método, podemos ver que as raízes da equação são 3 e 2.

Fatoração do trinômio X² + SX + P

A fatoração do trinômio do tipo X² + SX + P é obtida da seguinte forma:

$\dpi{120} \mathrm{X^2 + SX + P = (X + r_1)\cdot (X + r_2)}$

Sendo $\dpi{120} \mathrm{r_1}$ e $\dpi{120} \mathrm{r_2}$ as raízes determinadas pela fórmula de Bháskara ou pela soma e produto:

$\dpi{120} \mathrm{r_1 + r_2 = S}$

$\dpi{120} \mathrm{r_1 \cdot r_2 = P}$

Exemplo:

No trinômio x² + 5x + 6 do exemplo anterior, já verificamos que as raízes são 3 e 2, então, a forma fatorada é:

x² + 5x + 6 = (x + 3).(x + 2)

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