Trinômio do quadrado perfeito

Entenda quais são os trinômios do quadrado perfeito, veja exemplos e saiba identificar se um trinômio é o ou não do quadrado perfeito e como fatorar.


O trinômio do quadrado perfeito é um polinômio que possui três termos e que representa um quadrado perfeito.

São exemplos de trinômios do quadrado perfeito:

a) x² – 2x + 1

Pois:

  • x² – 2x + 1 = (x + 1)²
  • (x + 1)² → quadrado perfeito

b) x² – 6y + 9y²

Pois:

  • x² – 6y + 9y² = (x – 3y)²
  • (x – 3y)² → quadrado perfeito

c) -4x² – 20x + 25

Pois:

  • -4x² – 20x + 25 = (-2x + 5)²
  • (-2x + 5)² → quadrado perfeito

Como saber se um trinômio é quadrado perfeito?

Nem todo trinômio é um quadrado perfeito. Vamos te mostrar como verificar se um trinômio é ou não do quadrado perfeito.

  • 1º passo) Verificamos se há dois termos quadráticos no trinômio;
  • 2º passo) Extraímos as raízes quadradas desses dois termos;
  • 3º passo) Multiplicamos as bases entre si e pelo número 2;
  • 4º passo) Verificamos se o resultado obtido é igual ao termo que restou no trinômio.

Se for, é um trinômio do quadrado perfeito.

Exemplo 1:

x² – 10x + 25 

Esse polinômio pode ser escrito x² – 10x + 5², de onde podemos identificar dois termos quadráticos: x² e 5². Extraímos suas raízes:

x² = x

√25 = 5

As bases são x e 5.

Como 2 . x . 5 = 10x, que corresponde ao termo que restou no trinômio, então, é um trinômio do quadrado perfeito.

Exemplo 2:

x² + x – 16

Esse trinômio pode ser escrito como x² + x – 4², logo identificamos dois termos quadráticos: x² e 4². Extraímos suas raízes:

x² = x

√4²= 4

As bases são x e 4.

Como 2 . x . 4 = 8x ≠ x, ou seja, não corresponde ao termo que restou no trinômio, então, não é um trinômio do quadrado perfeito.

Exemplo 3:

x² + 6xy + 9y²

Podemos identificar os termos quadráticos x² e 9y². Extraímos suas raízes:

x² = x

√9y²= 3y

As bases são x e 3y.

Como 2 . x . 3y = 6xy, que corresponde ao termo restante do trinômio, então, o trinômio é do quadrado perfeito.

Como fatorar um trinômio do quadrado perfeito?

A fatoração de um trinômio do quadrado perfeito nada mais é do que escrevê-lo como um quadrado perfeito. Para isso, utilizamos as bases encontradas ao extrair as raízes dos termos quadráticos.

Exemplo:

Vamos fatorar os trinômios dos quadrados perfeitos dos exemplos anteriores 1 e 3.

x² – 10x + 25 = (x – 5)² = (x – 5) . (x – 5)

Pois as bases encontradas foram x e 5 e o sinal de menos (-) é devido ao sinal do termo restante -10x.

x² + 6xy + 9y² = (x + 3y)² = (x + 3y) . (x + 3y)

Pois as bases encontradas foram x e 3y e o sinal de mais (+) é devido ao sinal do termo restante + 6xy.

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