Binômio de Newton

Conheça a importante fórmula matemática que leva o nome de Isaac Newton. Saiba para que serve e veja exemplos!

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Binômio de Newton é uma fórmula que possibilita calcular uma potência de um binômio da forma \dpi{120} (x + y)^n, sendo o expoente \dpi{120} n um número natural\dpi{120} x e \dpi{120} y dois números reais quaisquer.

O binômio de Newton recebe esse nome em homenagem ao físico e matemático Isaac Newton, pois embora o binômio tenha surgido bem antes de sua época, os estudos de Newton foram mais abrangentes, envolvendo o caso de expoentes racionais.

A fórmula do binômio de Newton é:

\dpi{150} \small (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k}y^k

Desenvolvendo esse somatório, temos que:

\dpi{150} \small (x+y)^n = \binom{n}{0}x^ny^0 + \binom{n}{1}x^{n-1}y^1 + \binom{n}{2}x^{n-2}y^2+... + \binom{n}{n}x^0y^n

Em que:

\dpi{120} \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

É uma combinação de \dpi{120} n elementos tomados \dpi{120} k a \dpi{120} k. O símbolo de exclamação (!) indica um número fatorial.

Exemplo:

Pela fórmula do binômio de Newton, o binômio \dpi{120} (x+y)^4 pode ser escrito da seguinte forma:

\dpi{120} (x +y)^4 = \binom{4}{0}x^4y^0 + \binom{4}{1}x^3y^1 + \binom{4}{2}x^2y^2 +\binom{4}{3}x^1y^3 +\binom{4}{4}x^0y^4

Agora, calculamos cada uma das combinações nessa soma:

\binom{4}{0} = \frac{4!}{0!(4-0)!} = 1

\binom{4}{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4

\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6

\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4

\binom{4}{4} = \frac{4!}{4!(4-4)!} = 1

Substituindo os resultados na expressão anterior, temos que:

\dpi{120} (x +y)^4 = 1x^4y^0 + 4x^3y^1 + 6x^2y^2 +4x^1y^3 +1x^0y^4

Simplificando, chegamos na expressão final para o binômio:

\dpi{120} (x +y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 +4xy^3 +y^4

Termo geral do binômio de Newton

O termo geral do binômio de Newton é uma fórmula que permite calcular o valor de um termo do binômio sem precisar desenvolver algebricamente todo o binômio, como fizemos no exemplo anterior.

A fórmula é:

T_{k+1} = \binom{n}{k}x^{n-k}y^k

Exemplo: 

Vamos determinar o 7º termo do binômio \dpi{120} (x+y)^8 usando a fórmula do termo geral.

Queremos obter T_7, então, k + 1 = 7\Rightarrow k = 7-1 \Rightarrow k = 6.

E temos que n= 8.

Substituindo na fórmula, obtemos:

T_{7} = \binom{8}{6}x^{8-6}y^6

Como \binom{8}{6} = \frac{8!}{6!(8-6)!}=28, então:

T_{7} = 28\, x^{8-6}y^6

Simplificando:

T_{7} = 28\, x^{2}y^6

Triângulo de Pascal

Triângulo de Pascal é um triângulo formado por números, cujos extremos são todos iguais a 1 e na parte interior, cada número é obtido como a soma dos dois números acima dele.

Triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal possui muitas propriedades e está relacionado ao binômio de Newton.

Cada fileira do triângulo de Pascal corresponde aos coeficientes obtidos com o desenvolvimento do binômio de Newton com potência igual ao número da fileira.

(x + y)^0 = \mathbf{1}

(x + y)^1 = \mathbf{1}x + \mathbf{1}y

(x + y)^2 = \mathbf{1}x^2 + \mathbf{2}xy +\mathbf{1}y^2

(x + y)^3 = \mathbf{1}x^3 + \mathbf{3}x^2y + \mathbf{3}xy^2 +\mathbf{1}y^3

(x +y)^4 = \mathbf{1}x^4 + \boldsymbol{4}x^3y + \boldsymbol{6}x^2y^2 +\boldsymbol{4}xy^3 +\mathbf{1}y^4

\dpi{120} \vdots

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