Binômio de Newton

Conheça a importante fórmula matemática que leva o nome de Isaac Newton. Saiba para que serve e veja exemplos!

Por Elainy Marciano Publicado em 15/10/2020 - 17:53

Binômio de Newton é uma fórmula que possibilita calcular uma potência de um binômio da forma $\dpi{120} (x + y)^n$ , sendo o expoente $\dpi{120} n$ um número natural e $\dpi{120} x$ e $\dpi{120} y$ dois números reais quaisquer.

O binômio de Newton recebe esse nome em homenagem ao físico e matemático Isaac Newton, pois embora o binômio tenha surgido bem antes de sua época, os estudos de Newton foram mais abrangentes, envolvendo o caso de expoentes racionais.

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A fórmula do binômio de Newton é:

$\dpi{150} \small (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k}y^k$

Desenvolvendo esse somatório, temos que:

$\dpi{150} \small (x+y)^n = \binom{n}{0}x^ny^0 + \binom{n}{1}x^{n-1}y^1 + \binom{n}{2}x^{n-2}y^2+... + \binom{n}{n}x^0y^n$

Em que:

$\dpi{120} \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

É uma combinação de $\dpi{120} n$ elementos tomados $\dpi{120} k$ a $\dpi{120} k$ . O símbolo de exclamação (!) indica um número fatorial.

Exemplo:

Pela fórmula do binômio de Newton, o binômio $\dpi{120} (x+y)^4$ pode ser escrito da seguinte forma:

$\dpi{120} (x +y)^4 = \binom{4}{0}x^4y^0 + \binom{4}{1}x^3y^1 + \binom{4}{2}x^2y^2 +\binom{4}{3}x^1y^3 +\binom{4}{4}x^0y^4$

Agora, calculamos cada uma das combinações nessa soma:

$\binom{4}{0} = \frac{4!}{0!(4-0)!} = 1$

$\binom{4}{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4$

$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6$

$\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$

$\binom{4}{4} = \frac{4!}{4!(4-4)!} = 1$

Substituindo os resultados na expressão anterior, temos que:

$\dpi{120} (x +y)^4 = 1x^4y^0 + 4x^3y^1 + 6x^2y^2 +4x^1y^3 +1x^0y^4$

Simplificando, chegamos na expressão final para o binômio:

$\dpi{120} (x +y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 +4xy^3 +y^4$

Termo geral do binômio de Newton

O termo geral do binômio de Newton é uma fórmula que permite calcular o valor de um termo do binômio sem precisar desenvolver algebricamente todo o binômio, como fizemos no exemplo anterior.

A fórmula é:

$T_{k+1} = \binom{n}{k}x^{n-k}y^k$

Exemplo:

Vamos determinar o 7º termo do binômio $\dpi{120} (x+y)^8$ usando a fórmula do termo geral.

Queremos obter , então, $k + 1 = 7\Rightarrow k = 7-1 \Rightarrow k = 6$ .

E temos que .

Substituindo na fórmula, obtemos:

$T_{7} = \binom{8}{6}x^{8-6}y^6$

Como $\binom{8}{6} = \frac{8!}{6!(8-6)!}=28$ , então:

$T_{7} = 28\, x^{8-6}y^6$

Simplificando:

$T_{7} = 28\, x^{2}y^6$

Triângulo de Pascal

Triângulo de Pascal é um triângulo formado por números, cujos extremos são todos iguais a 1 e na parte interior, cada número é obtido como a soma dos dois números acima dele.

O triângulo de Pascal possui muitas propriedades e está relacionado ao binômio de Newton.

Cada fileira do triângulo de Pascal corresponde aos coeficientes obtidos com o desenvolvimento do binômio de Newton com potência igual ao número da fileira.

$(x + y)^0 = \mathbf{1}$