Funções trigonométricas do arco metade

Entenda o que é o arco metade e aprenda a calcular as funções seno, cosseno e tangente desse tipo de arco.

Por Elainy Marciano Publicado em 05/11/2020 - 17:44

As funções trigonométricas, seno, cosseno e tangente, do arco metade podem ser obtidas a partir das funções trigonométricas do arco duplo.

Dado um arco de medida $\dpi{120} \alpha$ , o arco duplo é o arco $\dpi{120} 2\alpha$ e o arco metade é o arco $\dpi{120} \alpha/2$ .

Veja mais

O limite numérico: até onde vai o maior número que conhecemos?

Reditec debate ensino profissional e tecnológico

Pelas fórmulas de adição de dois arcos, temos as funções trigonométricas do arco duplo:

Seno:

$\dpi{120} \mathrm{sen(2{\alpha})=sen({\alpha + \alpha}) = sen\, {\alpha} \cdot cos\, {\alpha} + sen\, {\alpha} \cdot cos\, {\alpha}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})= 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Cosseno:

$\dpi{120} \mathrm{cos(2{\alpha})=cos({\alpha + \alpha}) = cos\, {\alpha} \cdot cos\, {\alpha} - sen\, {\alpha} \cdot sen\, {\alpha}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{cos(2\boldsymbol{\alpha})= cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sen^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Tangente:

$\dpi{120} \mathrm{tan(2{\alpha})=tan({\alpha + \alpha}) = \frac{tan\, {\alpha} + tan\, {\alpha}}{1 - tan\, {\alpha} \cdot tan\, {\alpha}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{tan(2\boldsymbol{\alpha})= \frac{2\cdot tan\, \boldsymbol{\alpha} }{1 - tan^2\, \boldsymbol{\alpha}}}$

A partir dessas fórmulas vamos mostrar quais são as fórmulas das funções trigonométricas do arco metade.

Funções trigonométricas do arco metade

Uma das relações fundamentais da trigonometria é que:

$\dpi{120} \mathbf{sen^2\boldsymbol{\alpha} + cos^2\boldsymbol{\alpha} = 1}$

De onde obtemos:

$\dpi{120} \mathrm{sen^2\alpha = 1 - cos^2\alpha}$

$\dpi{120} \mathrm{ cos^2\alpha = 1-sen^2\alpha }$

Substituindo $\dpi{120} \mathrm{sen^2\alpha = 1 - cos^2\alpha}$ na fórmula do cosseno do arco duplo, temos que:

$\dpi{120} \mathrm{cos(2{\alpha})= cos^2\, {\alpha} - sen^2\, {\alpha} = cos^2\, {\alpha} - (1 - cos^2\, {\alpha})}$

$\dpi{120} \mathrm{= 2cos^2\, {\alpha} - 1 }$

Portanto: $\dpi{120} \mathrm{cos(2\alpha)= 2cos^2\, {\alpha} - 1 }$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{cos^2\, {\alpha} =\frac{1+cos(2\alpha) }{2} }$

Substituindo $\dpi{120} \alpha$ por $\dpi{120} \alpha/2$ na fórmula acima e extraindo a raiz quadrada em ambos os lados, temos a fórmula do cosseno do arco metade:

$\dpi{120} \mathbf{cos\, {(\boldsymbol{\alpha}/2)} = \pm \sqrt{\frac{1+cos\, \boldsymbol{\alpha} }{2} }}$

Obs.: O sinal na fórmula será positivo ou negativo de acordo com o quadrante do arco metade.

Agora, substituindo $\dpi{120} \mathrm{ cos^2\alpha = 1-sen^2\alpha }$ na fórmula do cosseno do arco duplo, temos que:

$\dpi{120} \mathrm{cos(2{\alpha})= cos^2\, {\alpha} - sen^2\, {\alpha} = (1 -sen^2\, {\alpha}) - sen^2\, {\alpha} }$

$\dpi{120} \mathrm{= 1- 2sen^2\, {\alpha} }$

Portanto:

$\dpi{120} \mathrm{cos(2\alpha)= 1- 2sen^2\, {\alpha} }$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{sen^2\, {\alpha} =\frac{1-cos(2\alpha)}{2} }$

Substituindo $\dpi{120} \alpha$ por $\dpi{120} \alpha/2$ na fórmula acima e extraindo a raiz quadrada em ambos os lados, temos a fórmula do seno do arco metade:

$\dpi{120} \mathbf{sen\, {(\boldsymbol{\alpha}/2)} = \pm \sqrt{\frac{1-cos\, \boldsymbol{\alpha}}{2}} }$

Obs.: O sinal na fórmula será positivo ou negativo de acordo com o quadrante do arco metade.

Por fim, podemos obter a tangente do arco metade, dividindo o seno do arco metade pelo cosseno do arco metade:

$\dpi{120} \mathrm{tan(\alpha/2) = \frac{sen(\alpha/2)}{cos(\alpha/2)} = \frac{\sqrt{\frac{1 - cos\, \alpha}{2}}}{\sqrt{\frac{1 + cos\, \alpha}{2}}} = \sqrt{\frac{1 - cos\, \alpha}{1 + cos\, \alpha}}}$

Portanto, a fórmula da tangente do arco metade é:

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha}/2) = \pm \sqrt{\frac{1 - cos\, \boldsymbol{\alpha}}{1 + cos\, \boldsymbol{\alpha}}}}$

Obs.: O sinal na fórmula será positivo ou negativo de acordo com o quadrante do arco metade.

Você também pode se interessar:

Trigonometria