Potências de i – Unidade imaginária

Entenda o que é a unidade imaginária i e como calcular qualquer potência de i.

Por Elainy Marciano Publicado em 03/09/2020 - 18:00

A unidade imaginária é representada pela letra i e foi criada para resolver problemas matemáticos em que apareciam raízes de números negativos.

Ao tentar calcular a raiz de um número negativo, sempre nos deparamos com $\dpi{120} \sqrt{-1}$ . Veja um exemplo:

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$\dpi{120} \sqrt{-25} = \sqrt{25.(-1)}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{-1} = 5\cdot\sqrt{-1}$

O problema é que no conjunto dos números reais não há solução para esses casos. É por isso que a unidade imaginária tem valor igual a $\dpi{120} \sqrt{-1}$ , isto é:

$\dpi{120} \boldsymbol{\mathrm{i = \sqrt{-1}}}$

Assim, no exemplo, temos: $\dpi{120} \sqrt{-25} = ... = 5\cdot\sqrt{-1} = 5\cdot \mathrm{i}$

E números como esse, que envolvem uma parte imaginária são chamados de números complexos.

Potências de i

Pelas propriedades de potenciação, sabemos que todo número elevado a 0 é igual a 1 e que todo número elevado a 1 é igual a ele mesmo. Então, temos que:

$\dpi{120} \mathbf{i^0 = 1}$

$\dpi{120} \mathbf{i^1 = i}$

Mas quanto é i elevado ao quadrado?

Lembre-se que por definição $\dpi{120} \boldsymbol{\mathrm{i = \sqrt{-1}}}$ , então:

$\dpi{120} \mathrm{\mathbf{i^2} = (\sqrt{-1})^2 = \mathbf{-1}}$

Isto é, i elevado ao quadrado é igual a -1.

A partir disso, podemos calcular qualquer potência de i:

$\dpi{120} \mathrm{\mathbf{i^3} = i^2\cdot i = -1 \cdot i = \mathbf{-i}}$ $\dpi{120} \mathrm{\mathbf{i^4} = i^2\cdot i^2 = -1 \cdot -1 = \mathbf{1}}$

$\dpi{120} \mathrm{\mathbf{i^5} = i^4\cdot i = 1 \cdot i = \mathbf{i}}$

$\dpi{120} \mathrm{\mathbf{i^6} = i^5\cdot i = i \cdot i = i^2 = \mathbf{-1}}$

$\dpi{120} \mathrm{\mathbf{i^7} = i^6\cdot i = -1 \cdot i =\mathbf{-i}}$

$\dpi{150} \vdots$

Observe que a cada quatro potências os valores se repetem, temos sempre 1, i, -1 e -i, ou seja, há um padrão de repetição nas potências de i.

Assim, sabendo que $\dpi{120} \mathrm{i^7 = -i}$ já podemos dizer que $\dpi{120} \mathrm{i^8 = 1}$ , $\dpi{120} \mathrm{i^9 = i}$ , $\dpi{120} \mathrm{i^{10} = -1}$ , e assim por diante.

Isso significa que para encontrar o resultado em qualquer potência de i, basta dividir o expoente por 4. O resto da divisão será 0, 1, 2 ou 3 e esse valor será o expoente que devemos utilizar.

Exemplo: calcular $\dpi{120} \mathrm{i^{214}}$ .

214 : 4 = 53 e o resto da divisão é 1.

Logo, $\dpi{120} \mathrm{i^{214} = i^1 = i}$ .

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