Relações trigonométricas

Aprenda sobre as relações ou identidades trigonométricas. Saiba quais são as relações fundamentais, as relações derivadas e outras relações úteis!

Por Elainy Marciano Publicado em 23/07/2020 - 17:02

As relações trigonométricas ou identidades trigonométricas são relações entre as funções trigonométricas, que são verdadeiras para todos os valores do domínio das funções envolvidas.

As relações trigonométricas caracterizam-se como importantes ferramentas no cálculo de funções trigonométricas e na simplificação de expressões envolvendo essas funções.

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Relações trigonométricas fundamentais

Para auxiliar no estudo das funções trigonométricas, utiliza-se o círculo trigonométrico, que é um círculo de raio 1 associado a um sistema de coordenadas no plano cartesiano.

O eixo x é o eixo dos cossenos e o eixo y, o eixo dos senos. Considerando um ângulo $\dpi{120} \alpha$ , teremos sempre um ponto P da circunferência associado a ele.

Observe, na figura, que há um triângulo retângulo com hipotenusa igual ao segmento que liga o centro ao ponto P e que tem valor igual a 1 (raio) e catetos iguais ao seno de $\dpi{120} \alpha$ e cosseno de $\dpi{120} \alpha$ .

Assim, podemos utilizar o teorema de Pitágoras, que diz que a hipotenusa ( $\dpi{120} a$ ) ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos ( $\dpi{120} b,c$ ).

$\dpi{120} a^2 = b^2+c^2$

$\dpi{120} \Rightarrow 1^2 = sen^2\, (\alpha) +cos^2\, (\alpha)$

$\dpi{120} \Rightarrow 1 = sen^2\, (\alpha) +cos^2\, (\alpha)$

Dessa forma, obtemos a primeira relação fundamental, também conhecida por relação pitagórica:

$\dpi{120} \boldsymbol{sen^2\, (\alpha) +cos^2\, (\alpha) = 1}$

Há, ainda, outras relações. Você se lembra que, no triângulo retângulo, uma das relações era que a tangente de um ângulo era calculada como o cateto oposto dividido pelo cateto adjacente?

Observe que no triângulo do círculo trigonométrico, o cateto oposto é o seno de $\dpi{120} \alpha$ e o cateto adjacente, o cosseno. Assim:

$\dpi{120} \boldsymbol{tan(\alpha)= \frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}}$

Além do seno, cosseno e tangente, outras funções trigonométricas importantes aparecem nas relações trigonométricas: secante (sec), cossecante (csc) e cotangente (cot).

Veja todas essas funções no círculo trigonométrico:

A secante é definida como o inverso da função cosseno:

$\dpi{120} \boldsymbol{sec(\alpha)= \frac{1}{cos(\alpha)}}$

Já a cossecante corresponde ao inverso da função seno:

$\dpi{120} \boldsymbol{csc(\alpha)= \frac{1}{sen(\alpha)}}$

Por fim, a cotangente é dada pelo inverso da função tangente:

$\dpi{120} \boldsymbol{cot(\alpha)= \frac{1}{tan(\alpha)}}$

Relações trigonométricas derivadas

As relações trigonométricas derivadas são relações obtidas a partir das relações fundamentais.

Dividindo todos os termos da equação $\dpi{120} sen^2\, (\alpha) +cos^2\, (\alpha) = 1$ por $\dpi{120} cos^2(\alpha)$ e considerando outras relações que vimos, obtemos:

$\dpi{120} \boldsymbol{sec^2(\alpha) = 1 + tan^2(\alpha)}$

Semelhantemente, dividindo todos os termos da equação $\dpi{120} sen^2\, (\alpha) +cos^2\, (\alpha) = 1$ por $\dpi{120} sen^2(\alpha)$ , podemos obter mais uma relação: