Erros comuns na simplificação de fração algébrica

Veja exemplos com a forma correta e incorreta de simplificar frações e não erre mais!

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Frações algébricas são frações que apresentam um polinômio no denominador. São exemplos de frações algébricas:

a) \dpi{120} \small \mathrm{\frac{1}{x+1}}         b) \dpi{120} \small \mathrm{\frac{3x}{2x - y}}      c) \dpi{120} \small \mathrm{\frac{(x+2)}{x^2 - 4}}

Assim, como fazemos a simplificação de frações com números, podemos fazer a simplificação de frações algébricas. O objetivo é obter uma expressão mais simples cancelando fatores comuns no numerador e denominador.

Vamos relembrar como é feita a simplificação de frações:

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\dpi{120} \small \frac{18}{60} = \frac{\cancel{2}\cdot 3^{\cancel{2}}}{2^{\cancel{2}}\cdot \cancel{3}\cdot 5} = \frac{3}{2\cdot 5} = \frac{3}{10}

Veja que fatoramos os números e cancelamos os fatores comuns no numerador e denominador.

Assim, na simplificação de frações algébricas, também precisamos utilizar técnicas de fatoração, mas com polinômios.

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Erros comuns na simplificação de frações algébricas

A simplificação de frações algébricas envolve o conhecimento de algumas técnicas de fatoração de polinômios e manipulação de expressões algébricas. O intuito é sempre obter uma expressão mais simples, cancelando fatores comuns.

Entre os erros mais comuns cometidos pelos estudantes na simplificação de frações algébricas está o uso incorreto do cancelamento. O cancelamento deve ser feito apenas entre fatores comuns e não entre qualquer termo que esteja no numerador e que apareça também no denominador.

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Então, é preciso lembrar que a palavra fatores está relacionada à multiplicação, ou seja, os fatores são os elementos de um produto.

Um outro erro, que na verdade não seria nem considerado erro, é o fato de realizar manipulações algébricas desnecessárias na fração e que não levem à possibilidade de simplificar, ou seja, a manipulação em si não está errada, mas a partir dela não conseguimos cancelar fatores comuns.

Para compreender melhor sobre esses erros comuns na simplificação de frações algébricas, confira os exemplos a seguir.

Exemplo 1: Simplificar a fração algébrica \dpi{120} \small \mathrm{\frac{x^2 -1}{x^2 + 2x + 1}}.

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Incorreto:

\dpi{120} \small \mathrm{\frac{\cancel{\mathrm{x}^2} -1}{\cancel{\mathrm{x}^2} + 2x + 1} = - \frac{1}{2x + 1} }

Nesse caso, o termo \dpi{120} \small \mathrm{x^2}, apesar de aparecer no numerador e denominador, não é um fator. Veja que no numerador está sendo subtraído 1 e no denominador, somado a 2x + 1. Portanto, não pode ser cancelado!

Correto:

\dpi{120} \small \mathrm{\frac{x^2 -1}{x^2 + 2x + 1} =\frac{(x+1)\cdot (x-1)}{(x+1)^2} =\frac{\cancel{(\mathrm{x +1})}\cdot (x-1)}{\cancel{(\mathrm{x +1})}\cdot (x+1)} = \frac{x-1}{x+1}}

A primeira coisa feita, foi verificar se podíamos fatorar os polinômios que aparecem na fração.

No numerador, temos uma diferença entre dois quadrados e no denominador temos um trinômio do quadrado perfeito. Logo, podemos fatorar!

Então, fatoramos numerador e denominador, obtendo o fator comum \dpi{120} \small \mathrm{(x + 1)}, que pôde ser cancelado. Veja que ele está sendo multiplicado por \dpi{120} \small \mathrm{(x-1)} no numerador e multiplicado por \dpi{120} \small \mathrm{(x + 1)} no denominador. Então, o cancelamento é correto nesse caso!

Exemplo 2: Simplificar a fração algébrica \dpi{120} \small \mathrm{\frac{x^2 + xy}{x^2 - y^2}}.

Incorreto:

\dpi{120} \small \mathrm{\frac{\cancel{\mathrm{x}^2} + x\cancel{\mathrm{y}}}{\cancel{\mathrm{x}^2} - y^{\cancel{2}}} = -\frac{x}{y}}

O erro aqui também está em cancelar termos que não são fatores.

Correto:

\dpi{120} \small \mathrm{\frac{x^2 + xy}{x^2 - y^2} = \frac{x.\cancel{\mathrm{(x+y)}}}{\cancel{\mathrm{(x+y)}}.(x-y)} = \frac{x}{(x-y)}}

Aqui, também verificamos se podíamos fatorar os polinômios que aparecem na fração.

No numerador, temos uma adição com fator comum \dpi{120} \small \mathrm{x} (podemos colocar em evidência) e no denominador temos uma diferença entre dois quadrados. Logo, podemos fatorar!

Então, fatoramos numerador e denominador, obtendo o fator comum \dpi{120} \small \mathrm{(x + y)}, que pôde ser cancelado. Veja que ele está sendo multiplicado por \dpi{120} \small \mathrm{x} no numerador e multiplicado por \dpi{120} \small \mathrm{(x - y)} no denominador. Então, o cancelamento é correto nesse caso!

Exemplo 3: Simplificar a fração algébrica \dpi{120} \small \mathrm{\frac{a^2 - 3a}{a^4 - 9a^2} } .

Incorreto:

\dpi{120} \small \mathrm{\frac{a^2 - 3a}{a^4 - 9a^2} = \frac{\cancel{\mathrm{a}}.(a-3)}{\cancel{\mathrm{a}}.(a^3-9a)} = \frac{a -3}{a^3 - 9a}}

Nesse caso, não há um erro específico, o termo \dpi{120} \small \mathrm{a} foi colocado em evidência, foi feito o cancelamento correto, porém, não conseguimos simplificar a fração ainda.

Fazendo mais algumas manipulações, podemos simplificar essa fração. Mas existe uma forma mais rápida ou até mais adequada de conseguir isso.

Correto:

\dpi{120} \small \mathrm{\frac{a^2 - 3a}{a^4 - 9a^2} = \frac{\cancel{\mathrm{a^2 - 3a}}}{\cancel{(\mathrm{a^2 - 3a})}.(a^2 + 3a)} = \frac{1}{a^2 + 3a} }

 

Verificamos se podíamos fatorar os polinômios que aparecem na fração. Observamos que o denominador é uma diferença entre dois quadrados, sendo que ao ser fatorado, obtemos o termo \dpi{120} \small \mathrm{(a^2 - 3a)}, que aparece sozinho no numerador.

Nesse caso, fizemos o cancelamento desse termo, pois ele é um fator comum, veja que está sendo multiplicado por \dpi{120} \small \mathrm{(a^2 + 3a)} no denominador e no numerador, multiplicado por 1, já que aparece sozinho.

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