Teorema da decomposição de um polinômio

Entenda o teorema da decomposição de um polinômio, veja sua demonstração e exemplos de como utilizá-lo.

Por Elainy Marciano Publicado em 02/12/2020 - 16:46

O teorema da decomposição de um polinômio é um importante teorema da álgebra, ele é uma consequência do teorema fundamental da álgebra, demonstrado pelo matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Esse teorema nos diz a respeito da quantidade de raízes de um polinômio e da forma como o polinômio pode ser escrito em função de um produto que envolve essas raízes.

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Teorema da decomposição de um polinômio

Considere um polinômio $\dpi{120} \small \mathbf{P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0}$ , com grau $\dpi{120} \small \mathbf{n\geq 1}$ .

Pelo teorema da decomposição de um polinômio, a equação polinomial $\dpi{120} \small \mathbf{P(x) =0}$ possui exatamente n raízes $\dpi{120} \small \mathbf{r_1, r_2, ..., r_n}$

, complexas ou reais, e pode ser decomposto da seguinte forma: $\dpi{120} \small \mathbf{P(x) = a_n(x - r_1).(x - r_2)...(x - r_n)}$

Demonstração:

O teorema da decomposição de um polinômio é obtido a partir do teorema fundamental da álgebra.

Teorema fundamental da álgebra (TFA): todo polinômio $\dpi{120} \small \mathbf{P(x)}$ de grau $\dpi{120} \small \mathbf{n\geq 1}$ possui pelo menos uma raiz complexa (real ou não).

Assim, considerando um polinômio $\dpi{120} \small \mathrm{P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0}$ , com grau $\dpi{120} \small \mathrm{n\geq 1}$ , o TFA nos garante que existe uma raiz complexa $\dpi{120} \small \mathrm{r_1}$ , de forma que $\dpi{120} \small \mathrm{P(r_1) = 0}$ .

Pelo teorema de D’Alembert, se $\dpi{120} \small \mathrm{P(r_1) = 0}$ , então $\dpi{120} \small \mathrm{P(x)}$ é divisível por $\dpi{120} \small \mathrm{(x - r_1)}$ . Sendo $\dpi{120} \small \mathrm{Q_1(x)}$ o polinômio de grau $\dpi{120} \small \mathrm{n -1}$ resultante dessa divisão, podemos escrever $\dpi{120} \small \mathrm{P(x)}$ da seguinte forma:

$\dpi{120} \small \mathrm{P(x) = (x - r_1)\cdot Q_1(x)}$

Agora, sendo $\dpi{120} \small \mathrm{Q_1(x)}$ um polinômio de grau $\dpi{120} \small \mathrm{n -1}$ , se tivermos $\dpi{120} \small \mathrm{n -1}\geq 1$ , o TFA nos garante que $\dpi{120} \small \mathrm{Q_1(x)}$ possui pelo menos uma raiz complexa $\dpi{120} \small \mathrm{r_2}$ , ou seja, podemos escrever $\dpi{120} \small \mathrm{Q_1(x)}$ como:

$\dpi{120} \small \mathrm{Q_1(x) = (x - r_2)\cdot Q_2(x)}$

E consequentemente, substituindo $\dpi{120} \small \mathrm{Q_1(x)}$ em $\dpi{120} \small \mathrm{P(x)}$ , temos que:

$\dpi{120} \small \mathrm{P(x) = (x - r_1)\cdot (x - r_2)\cdot Q_2(x)}$

Seguindo esse procedimento para $\dpi{120} \small \mathrm{Q_2(x), Q_3(x), ..., Q_n(x)}$ , o polinômio $\dpi{120} \small \mathrm{P(x)}$ pode ser escrito como:

$\dpi{120} \small \mathrm{P(x) = (x - r_1)\cdot (x - r_2)\cdot (x - r_3)\cdots (x- r_n)\cdot Q_n(x)}$

Pela identidade de polinômios, $\dpi{120} \small \mathrm{Q_n(x)}$ deve ser igual ao coeficiente dominante $\dpi{120} \small \mathrm{a_n}$ de $\dpi{120} \small \mathrm{P(x)}$ . Então:

$\dpi{120} \small \mathrm{P(x) = a_n(x - r_1)\cdot (x - r_2)\cdot (x - r_3)\cdots (x- r_n)}$

Como queríamos demonstrar.

Exemplo 1:

Pelo teorema da decomposição de polinômios, P(x) = x² -2x – 8 = 0 possui duas raízes complexas (reais ou não), já que o polinômio é de grau 2.

Como se trata de uma equação do 2º grau, podemos utilizar Bháskara para determinar essas duas raízes. Os valores encontrados são 4 e -2.

Assim, o polinômio pode ser decomposto da seguinte forma:

P(x) = (x – 4).(x + 2)

Exemplo 2:

Pelo teorema da decomposição de polinômios, podemos determinar qual é o polinômio de coeficiente dominante igual a 2 e raízes 1, 3 e -4.

P(x) = 2.(x – 1).(x – 3).(x + 4)

P(x) = (2x – 2).(x – 3).(x + 4)

P(x) = (2x² – 6x – 2x +6).(x + 4)

P(x) = (2x² – 8x +6).(x + 4)

P(x) = 2x³ + 8x² -8x² -32x + 6x + 24

P(x) = 2x³ -26x + 24

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