Adição e subtração de frações algébricas

Adição e subtração de frações algébricas envolve cálculos com polinômios. Veja exemplos de como realizar essas operações!

Por Elainy Marciano Publicado em 17/09/2020 - 16:33

A adição e subtração de frações algébricas é feita de modo semelhante à adição e subtração de frações numéricas, a diferença é que, em frações algébricas, lidamos com polinômios.

Quando os denominadores das frações algébricas são iguais, basta somar ou subtrair os numeradores e conservar o denominador.

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No entanto, se os denominadores são diferentes, devemos escrever frações equivalentes com denominadores iguais para, então, fazer a soma ou subtração. Nesse caso, calcula-se o MMC de polinômios.

Frações algébricas com denominadores iguais

Se os denominadores das frações algébricas são iguais, somamos ou subtraímos os numeradores e mantemos o denominador.

Exemplos:

a) Calcular $\dpi{120} \mathrm{\frac{7x}{y^2}+\frac{3x}{y^2} }$ .

$\dpi{120} \mathrm{\frac{7x}{y^2}+\frac{3x}{y^2}= \frac{7x+3x}{y^2}= \frac{10x}{y^2} }$

b) Calcular $\dpi{120} \mathrm{\frac{9 + a}{b-1}-\frac{a-b}{b-1} }$ .

$\dpi{120} \mathrm{\frac{9 + a}{b-1}-\frac{a-b}{b-1} = \frac{9 + a - (a-b)}{b-1} = \frac{9 -b}{b-1} }$

Frações algébricas com denominadores diferentes

Se os denominadores das frações algébricas são diferentes, calculamos o MMC dos denominadores e escrevemos frações equivalentes com o mesmo denominador.

Em seguida, calculamos a adição ou subtração assim como no caso anterior, de denominadores iguais.

Exemplos:

a) Calcular $\dpi{120} \mathrm{\frac{x}{2y}+\frac{y}{2x}}$ .

Fatoramos cada um dos polinômios que estão no denominador:

$\dpi{120} \mathrm{2y = 2\cdot y}$

$\dpi{120} \mathrm{2x = 2\cdot x}$

O MMC é o produto entre os fatores, mas sem repetir os fatores iguais:

$\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow MMC = 2\cdot y\cdot x = 2yx}$

Observe que não repetimos o número 2, que aparece na fatoração dos dois polinômios.

Usando o MMC, reescrevemos as frações equivalentes de mesmo denominador:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{x}{2y}+\frac{y}{2x} = \frac{x^2}{2yx}+ \frac{y^2}{2yx}}$

Por fim, calculamos a soma das frações algébricas que já possuem o mesmo denominador:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{x}{2y}+\frac{y}{2x} = \frac{x^2+y^2}{2yx}}$

b) Calcular $\dpi{120} \mathrm{\frac{2a}{a^2-9} - \frac{7}{a+3}}$ .

Para encontrar o MMC entre os polinômios que estão no denominador, fatoramos cada um deles.

$\dpi{120} \mathrm{a^2 - 9 = a^2 - 3^2= (a-3)\cdot (a+3)}$ → fatoração da diferença de dois quadrados

$\dpi{120} \mathrm{a+ 3 = a+3}$ → permanece igual

O MMC é o produto entre os fatores, mas sem repetir os fatores iguais.

$\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow MMC = (a+3)\cdot (a-3)}$

Observe que não repetimos (a + 3), que aparece na fatoração dos dois polinômios.

Usando o MMC, reescrevemos as frações equivalentes de mesmo denominador:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{2a}{a^2-9} - \frac{7}{a+3} = \frac{2a}{(a+3)\cdot (a-3)}-\frac{7.(a-3)}{(a+3)\cdot (a-3)}}$

Por fim, calculamos a soma das frações algébricas que já possuem o mesmo denominador:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{2a}{a^2-9} - \frac{7}{a+3} = \frac{2a - 7(a-3)}{(a+3)\cdot (a-3)} = \frac{2a-7a+21}{(a+3)\cdot (a-3)} = \frac{-5a+21}{(a+3)\cdot (a-3)} }$

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