Como encontrar o MDC de polinômios

O máximo divisor comum pode ser calculado entre números e, também, entre polinômios. Veja como isso é feito e entenda a diferença entre MDC e MMC.

máximo divisor comum (MDC) entre dois ou mais números inteiros corresponde ao maior divisor comum que existe entre eles. Entre polinômios, o MDC tem a mesma ideia.

Desse modo, para entender como calcular o MDC entre polinômios, é importante saber como calcular o MDC de números inteiros.

De modo prático, o MDC pode ser obtido como o produto dos fatores primos comuns que existem entre os números.

Exemplo: Calcular o MDC entre 16 e 24.

Decomposição em fatores primos:

16 | 2
8   | 2
4   | 2
2   | 2
1    ⇒ 16 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2

24 | 2
12 | 2
6   | 2
3   | 3
1    ⇒  24 = 2 . 2 . 2 . 3

O MDC entre 16 e 24 é produto dos fatores comuns aos dois números, ou seja,

MDC(16, 24) = 2 . 2 . 2 = 8.

Agora, vamos ver como encontrar o MDC de polinômios. Começaremos pelo caso mais simples, com os polinômios formados por um termo único: os monômios.

MDC de monômios

Vamos ver alguns exemplos de como calcular o MDC entre dois ou mais monômios.

Exemplo 1: MDC entre 6x e 15x.

Fazendo a decomposição em fatores primos, temos que:

6 = 2 . 3  e  15 = 3 . 5

Logo, podemos escrever cada um dos monômios da seguinte forma:

6x = 2 . 3 . x

15 x = 3 . 5 . x

Portanto, o MDC é 3x.

Exemplo 2: MDC entre 18x²y e 30xy.

Fazendo a decomposição em fatores primos, temos que:

18 = 2 . 3 . 3  e  30 = 2 . 3 . 5

Logo, podemos escrever cada um dos monômios da seguinte forma:

18x²y = 2 . 3 . 3 . x². y = 2 . 3 . 3 . x . x . y

30xy = 2 . 3 . 5 . x .

2 . 3 . x . y = 6x

Logo, o MDC é 6xy.

MDC de polinômios

Para encontrar o MDC de polinômios, antes, verificamos se é possível fatorar cada um deles. Para isso, utilizamos técnicas de fatoração de polinômios.

Exemplo 1: MDC entre (x² – y²) e (2x – 2y).

Observe que o primeiro polinômio corresponde a uma diferença de dois quadrados. Assim, podemos fatorá-lo da seguinte forma:

x² – y² = (x – y).(x + y)

Já no segundo polinômio, podemos escrever o fator comum, 2, em evidência:

2x – 2y = 2.(x – y)

Dessa forma, temos:

x² – y² = (x – y).(x + y)

2x – 2y = 2.(x – y)

Então, o MDC entre os polinômios é (x – y).

Exemplo 2: MDC entre (x³ + 27) e (x² + 6x + 9).

O primeiro polinômio corresponde a uma soma entre dois cubos, veja:

x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3).(x² – 3x + 9)

E o segundo polinômio, ao quadrado da soma de dois termos:

x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3).(x + 3)

Então, temos que:

x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 9)

x² + 6x + 9 = (x + 3).(x + 3)

Portanto, o MDC entre os polinômios é (x + 3).

Exemplo 3: MDC entre (2x² – 32) e (x³ + 12x² + 48x + 64).

Aqui, o primeiro polinômio é uma diferença entre dois quadrados:

2x² – 32 = 2.(x² – 16) = 2.(x² – 4²) = 2.(x – 4).(x + 4)

Enquanto isso, o segundo polinômio é o cubo da soma de dois termos:

x³ + 12x² + 48x + 64 = (x)³ + 3 . (x²) . (4) + 3 . (4²) . (x) + (4)³ = (x + 4)³ = (x + 4).(x + 4).(x + 4)

Assim, temos que:

2x² – 32 = 2.(x – 4).(x + 4)

x³ + 12x² + 48x + 64 = (x + 4).(x + 4).(x + 4)

Portanto, o MDC entre os polinômios é (x + 4).

Diferença entre MMC e MDC

É comum a confusão entre os conceitos de MDC e MMC (mínimo múltiplo comum). Contudo, enquanto o MDC corresponde ao divisor comum de maior valor, o MMC é dado pelo múltiplo comum de menor valor.

O MMC é uma ferramenta muito útil na resolução de equações fracionárias, porque, em geral, os denominadores das frações não são iguais.

Nessas situações, o que fazemos é extrair o MMC entre os denominadores e a partir daí escrever frações equivalentes de mesmo denominador.

No entanto, nem sempre os denominadores são números conhecidos, eles podem ser expressões algébricas ou polinômios. Por isso, é comum termos que calcular o MMC de polinômios.

Nessa hora, é importante não confundir e querer encontrar o MDC da equação, quando o que tem que ser calculado é o MMC da equação.

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