Geometria analítica

Quer entender o que é geometria analítica? O que é estudado, quais as principais fórmulas e conceitos? Confira esse artigo!

Geometria analítica é uma parte da matemática que estuda as figuras geométricas a partir de um ponto de vista algébrico.

Um dos objetivos principais da geometria analítica é reunir técnicas para descrever, com expressões algébricas, as formas geométricas, áreas, volumes, distâncias, pontos de intersecção, posições de retas, ângulos de inclinação, etc.

Uma ferramenta importante na geometria analítica chama-se sistema de coordenadas, por meio do qual é possível localizar pontos, no plano ou no espaço. Dessa forma, os objetos de estudo podem ser visualizados e compreendidos com mais clareza.

Plano cartesiano

O plano cartesiano é um sistema de coordenadas para localização de pontos no plano, sendo formado por duas retas perpendiculares.

A reta horizontal é chamada de eixo x, ou eixo das abscissas, e a reta vertical é o eixo y, ou eixo das ordenadas.

Representação de um par ordenado

Quando localizamos vários pontos que pertencem a uma reta, por exemplo, conseguimos traçar o gráfico da reta e entender características importantes dessa reta, como a posição relativa entre ela e outras retas.

Fórmulas de geometria analítica

Veja a seguir as principais fórmulas e expressões de geometria analítica.

Distância entre dois pontos:

\dpi{120} \boldsymbol{d(P_1,P_2) =\sqrt{(x_2 - x_1)^2 +(y_2 - y_1)^2}}

  • \dpi{120} P_1(x_1,y_1)
  • \dpi{120} P_2(x_2,y_2)

Equação da reta:

\dpi{120} \boldsymbol{\mathrm{a}x + \mathrm{b}y + \mathrm{c} = 0}

a, b e c são constantes calculadas a partir das coordenadas de dois pontos distintos pertencentes à reta.

Coeficiente angular da reta (inclinação):

\dpi{120} \boldsymbol{m = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}}

\dpi{120} P_1(x_1,y_1) e \dpi{120} P_2(x_2,y_2): dois pontos pertencentes à reta.

Intersecção entre duas retas:

\dpi{120} \left\{\begin{matrix} a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y +c_2 = 0 \end{matrix}\right.

O ponto de intersecção é a solução \dpi{120} (x,y) do sistema de equações.

Equação da circunferência:

\dpi{120} \boldsymbol{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}

  • \dpi{120} C(a,b): centro da circunferência;
  • \dpi{120} r: raio da circunferência.

Equação da elipse:

\dpi{120} \boldsymbol{\frac{x^2}{\mathrm{a}^2} + \frac{y^2}{\mathrm{b}^2}= 1}

  • \dpi{120} \mathrm{F_1(-c,0)} e \dpi{120} \mathrm{F_2(c,0)}: focos da elipse;
  • \dpi{120} \mathrm{a^2 = b^2 + c^2}.

Equação da parábola:

\dpi{120} \boldsymbol{y^2 = 4 px}

  • \dpi{120} \mathrm{F(p,0)}: foco da parábola.

Equação da hipérbole:

\dpi{120} \boldsymbol{\frac{x^2}{\mathrm{a}^2} - \frac{y^2}{\mathrm{b}^2} = 1}

  • \dpi{120} \mathrm{F_1(-c,0)} e \dpi{120} \mathrm{F_2(c,0)}: focos da hipérbole;
  • \dpi{120} \mathrm{b^2 = c^2 - a^2}.

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