Racionalização de denominadores

Racionalização é usada em problemas que envolvem denominadores com raízes. Entenda como aplicar esse método!

Por Elainy Marciano Publicado em 09/09/2020 - 18:28

Racionalização de denominadores é um precedimento utilizado para “eliminar” um termo com radical ( $\dpi{120} \sqrt{{\color{White} z}}$ ) do denominador de uma fração.

O radical no denominador pode dificultar muitos cálculos e a manipulação de expressões, o que torna a racionalização de denominadores muito útil em diversos problemas matemáticos com frações.

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É importante ressaltar que, quando dizemos “eliminar”, estamos nos referindo a transformar a fração inicial em uma fração equivalente, mas sem radical no denominador.

As frações equivalentes são aquelas que resultam em um mesmo número. Assim, a racionalização de denominadores pode ser feita sem medo algum de que o resultado final de uma operação que estamos resolvendo seja alterado.

Como fazer a racionalização de denominadores?

A racionalização de denominadores consiste em multiplicar e dividir uma fração por um mesmo número, com o objetivo de tornar o denominador, que antes era um número irracional, em um número racional.

Mas por qual número devemos multiplicar e dividir a fração para fazer a racionalização?

Devemos multiplicar e dividir por um número conveniente que torne o denominador em um número racional, ou seja, sem a bendita raiz.

Exemplos: racionalizar o denominador de cada fração:

a) $\dpi{120} \frac{3}{\sqrt{2}}$

Como $\dpi{120} \sqrt{2}\cdot \sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 = 2$ , então, é justamente por $\dpi{120} \sqrt{2}$ que vamos multiplicar e dividir a fração.

$\dpi{120} \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}= \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Observe que a fração obtida não possui número irracional do denominador, como desejávamos.

b) $\dpi{120} \mathrm{\frac{1}{\sqrt[3]{\mathrm{7}}}}$

Como $\dpi{120} \sqrt[3]{7}\cdot \sqrt[3]{7}\cdot \sqrt[3]{7} = (\sqrt[3]{7})^3 = 7$ , devemos multiplicar e dividir a fração por $\dpi{120} \sqrt[3]{7}\cdot \sqrt[3]{7}$ .

$\dpi{120} \frac{1}{\sqrt[3]{\mathrm{7}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{\mathrm{7}}}\cdot \frac{\sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[3]{7} }{\sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[3]{7}} = \frac{\sqrt[3]{7\cdot 7}}{7} = \frac{\sqrt[3]{7^2}}{7}$

Agora, observe que $\dpi{120} \sqrt[3]{7}\cdot \sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{7\cdot 7} = \sqrt[3]{7^2} = \sqrt[3]{7^{3-1}}$ .

Então, em casos semelhantes, basta multiplicar e dividir pelo número com expoente igual ao índice menos 1.

c) $\dpi{120} \mathrm{\frac{5}{\sqrt[5]{\mathrm{4}}}}$

Nesse exemplo, que é semelhante ao anterior, vamos fazer de forma direta:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{5}{\sqrt[5]{\mathrm{4}}}}=\frac{5}{\sqrt[5]{\mathrm{4}}}\cdot \frac{\sqrt[5]{4^4}}{\sqrt[5]{4^4}} = \frac{5\sqrt[5]{256}}{4}$