Racionalização de denominadores

Racionalização é usada em problemas que envolvem denominadores com raízes. Entenda como aplicar esse método!

Racionalização de denominadores é um precedimento utilizado para “eliminar” um termo com radical (\dpi{120} \sqrt{{\color{White} z}}) do denominador de uma fração.

O radical no denominador pode dificultar muitos cálculos e a manipulação de expressões, o que torna a racionalização de denominadores muito útil em diversos problemas matemáticos com frações.

É importante ressaltar que, quando dizemos “eliminar”, estamos nos referindo a transformar a fração inicial em uma fração equivalente, mas sem radical no denominador.

As frações equivalentes são aquelas que resultam em um mesmo número. Assim, a racionalização de denominadores pode ser feita sem medo algum de que o resultado final de uma operação que estamos resolvendo seja alterado.

Como fazer a racionalização de denominadores?

A racionalização de denominadores consiste em multiplicar e dividir uma fração por um mesmo número, com o objetivo de tornar o denominador, que antes era um número irracional, em um número racional.

Mas por qual número devemos multiplicar e dividir a fração para fazer a racionalização?

Devemos multiplicar e dividir por um número conveniente que torne o denominador em um número racional, ou seja, sem a bendita raiz.

Exemplos: racionalizar o denominador de cada fração:

a) \dpi{120} \frac{3}{\sqrt{2}}

Como \dpi{120} \sqrt{2}\cdot \sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 = 2, então, é justamente por \dpi{120} \sqrt{2} que vamos multiplicar e dividir a fração.

\dpi{120} \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}= \frac{3\sqrt{2}}{2}

Observe que a fração obtida não possui número irracional do denominador, como desejávamos.

b) \dpi{120} \mathrm{\frac{1}{\sqrt[3]{\mathrm{7}}}}

Como \dpi{120} \sqrt[3]{7}\cdot \sqrt[3]{7}\cdot \sqrt[3]{7} = (\sqrt[3]{7})^3 = 7, devemos multiplicar e dividir a fração por \dpi{120} \sqrt[3]{7}\cdot \sqrt[3]{7}.

\dpi{120} \frac{1}{\sqrt[3]{\mathrm{7}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{\mathrm{7}}}\cdot \frac{\sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[3]{7} }{\sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[3]{7}} = \frac{\sqrt[3]{7\cdot 7}}{7} = \frac{\sqrt[3]{7^2}}{7}

Agora, observe que \dpi{120} \sqrt[3]{7}\cdot \sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{7\cdot 7} = \sqrt[3]{7^2} = \sqrt[3]{7^{3-1}}.

Então, em casos semelhantes, basta multiplicar e dividir pelo número com expoente igual ao índice menos 1.

c) \dpi{120} \mathrm{\frac{5}{\sqrt[5]{\mathrm{4}}}}

Nesse exemplo, que é semelhante ao anterior, vamos fazer de forma direta:

\dpi{120} \mathrm{\frac{5}{\sqrt[5]{\mathrm{4}}}}=\frac{5}{\sqrt[5]{\mathrm{4}}}\cdot \frac{\sqrt[5]{4^4}}{\sqrt[5]{4^4}} = \frac{5\sqrt[5]{256}}{4}

d) \dpi{120} \frac{1}{2 - \sqrt{5}}

Nesse caso, não basta multiplicar e dividir por \dpi{120} 2 - \sqrt{5}, pois continuaremos com radical.

Devemos lembrar da fatoração da diferença entre dois quadrados:

\dpi{120} (2 - \sqrt{5})\cdot (2 + \sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1

Portanto, devemos multiplicar e dividir por \dpi{120} (2+\sqrt{5}):

\dpi{120} \frac{1}{2 - \sqrt{5}} = \frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}} = \frac{2 - \sqrt{5}}{-1} = -2 + \sqrt{5}

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