Lista de exercícios de logaritmos

Veja uma lista de exercícios de logaritmos, todos resolvidos, passo a passo, e entenda como aplicar a definição e as propriedades.

Por Elainy Marciano Publicado em 14/09/2020 - 17:38

Muitos problemas matemáticos que envolvem logaritmos são resolvidos a partir da própria definição:

$\dpi{120} \mathrm{log_ab = x\Leftrightarrow a^x = b}$

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Em que a (base) e b (logaritmando) são dois números positivos, com $\dpi{120} \mathrm{a\neq 1}$ .

Além disso, para resolver exercícios de logaritmos é muito útil conhecer as propriedades dos logaritmos, como propriedade do produto, propriedade do quociente e propriedade da potência.

A seguir, veja uma lista de exercícios de logaritmos, todos resolvidos, passo a passo, para que você possa tirar suas dúvidas sobre o assunto.

Lista de exercícios de logaritmos

Questão 1. Calcule o valor de x em cada caso:

a) $\dpi{120} \mathrm{\log_{0,5}\bigg(\frac{1}{4}\bigg) = x}$

b) $\dpi{120} \mathrm{log_{\sqrt{8}}\, 512 = x}$

c) $\dpi{120} \mathrm{log\, 0,01 = x}$

Questão 2. Determine o valor de x na expressão:

$\dpi{120} \mathrm{log_x\, 32 = -2}$

Questão 3. Determine o valor de x na expressão:

$\dpi{120} \mathrm{log_2\, x^3 = 6}$

Questão 4. Calcule o valor da expressão:

$\dpi{120} \mathrm{log_2\, \bigg( \frac{1}{32}\bigg) + log_3\, \bigg( \frac{1}{27}\bigg) - log_2\, 1}$

Questão 5. Calcule o valor da expressão:

$\dpi{120} \mathrm{log\, 1000 - log\, 0,001 + log\, \bigg(\frac{1}{1000}\bigg)}$

Questão 6. Determine o valor de:

$\dpi{120} \mathrm{log\Bigg(2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}\Bigg)}$

Questão 7. Resolva a equação:

$\dpi{120} \mathrm{(x^2 - 5x + 9)\cdot log\, 2+ log\, 125 = 3}$

Resolução da questão 1

a) $\dpi{120} \mathrm{\log_{0,5}\bigg(\frac{1}{4}\bigg) = x}$

Pela definição, temos que:

$\dpi{120} \mathrm{0,5^x = \frac{1}{4}}$

Podemos escrever o número decimal 0,5 na forma fracionária:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{1}{2}^x = \frac{1}{4}}$

A ideia, agora, é reescrever a expressão de forma que as duas potências sejam de mesma base:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{1}{2}^x = \bigg(\frac{1}{2}\bigg)^2}$

Como as bases são iguais, igualamos os expoentes e encontramos o valor de x:

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{x = 2}$

b) $\dpi{120} \mathrm{log_{\sqrt{8}}\, 512 = x}$

Pela definição, temos que:

$\dpi{120} \mathrm{(\sqrt{8})^x = 512}$

Usando uma propriedade da radiciação e fatoração, podemos reescrever essa expressão da seguinte forma:

$\dpi{120} \mathrm{(8^\frac{1}{2})^x = 8^3}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{8^\frac{x}{2}= 8^3}$

Como as bases são iguais, igualamos os expoentes e encontramos o valor de x:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{x}{2} = 3}$

$\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow x = 6}$

c) $\dpi{120} \mathrm{log\, 0,01 = x}$

Pela definição, temos que:

$\dpi{120} \mathrm{10^x = 0,01}$

Podemos escrever o número decimal 0,01 como uma potência de base 10:

$\dpi{120} \mathrm{10^x = \frac{1}{100}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{10^x = \frac{1}{10^2}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{10^x = 10^{-2}}$

Como as bases são iguais, igualamos os expoentes e encontramos o valor de x:

$\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow x = -2}$

Resolução da questão 2

$\dpi{120} \mathrm{log_x\, 32 = -2}$

Pela definição, temos que:

$\dpi{120} \mathrm{x^{-2} = 32}$

Calculando o inverso dos dois lados da equação, temos que:

$\dpi{120} \mathrm{x^2=\frac{1}{32}}$

Aplicando a raiz quadrada dos dois lados, obtemos o valor de x:

$\dpi{120} \mathrm{x = \pm\sqrt{\frac{1}{32}}}$

Como a base de um logaritmo não pode ser negativa, então:

$\dpi{120} \mathrm{x = +\sqrt{\frac{1}{32}} = \frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{8}}$

Resolução da questão 3

$\dpi{120} \mathrm{log_2\, x^3 = 6}$

Pela definição, temos que:

$\dpi{120} \mathrm{2^6 = x^3}$

Aplicando a raiz cúbica dos dois lados da equação, temos que:

$\dpi{120} \mathrm{x = \sqrt[3]{2^6}=\sqrt[3]{(2^2)^3} = 4}$

Resolução da questão 4

$\dpi{120} \mathrm{log_2\, \bigg( \frac{1}{32}\bigg) + log_3\, \bigg( \frac{1}{27}\bigg) - log_2\, 1}$

Vamos resolver cada termo separadamente, encontrando os valores de x, y e z:

$\dpi{120} \mathrm{log_2\, \bigg( \frac{1}{32}\bigg) = x}$ , $\dpi{120} \mathrm{ log_3\, \bigg( \frac{1}{27}\bigg) =y}$ , $\dpi{120} \mathrm{ log_2\, 1 = z}$

Aplicando a definição, temos que:

$\dpi{120} \mathrm{2^x = \frac{1}{32} \Rightarrow 2^x = 2^{-5} \Rightarrow x = -5}$

$\dpi{120} \mathrm{3^y = \frac{1}{27}\Rightarrow 3^y = 3^{-3}\Rightarrow y = -3}$

$\dpi{120} \mathrm{2^z = 1\Rightarrow z = 0}$

Portanto:

$\dpi{120} \mathrm{log_2\, \bigg( \frac{1}{32}\bigg) + log_3\, \bigg( \frac{1}{27}\bigg) - log_2\, 1 = -5 -3 -0 = -8}$

Resolução da questão 5

Observe que:

$\dpi{120} \mathrm{log\, 1000 - log\, 0,001 + log\, \bigg(\frac{1}{1000}\bigg)}$

$\dpi{120} =\mathrm{log\, 1000 - log\, \bigg(\frac{1}{1000}\bigg) + log\, \bigg(\frac{1}{1000}\bigg)}$

A base é 10 e os logaritmandos podem ser escritos como potência de base 10:

$\dpi{120} \mathrm{log\, 10^3 - log\, 10^{-3} + log\, 10^{-3}}$

Pela propriedade do logaritmo de uma potência:

$\dpi{120} =\mathrm{3\cdot log\, 10 - (-3) \cdot log\, 10 + (-3) \cdot log\, 10}$

$\dpi{120} =\mathrm{3 + 3 -3 = 3}$

Resolução da questão 6

$\dpi{120} \mathrm{log\Bigg(2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}\Bigg)}$

Aplicando a propriedade do logaritmo de um produto:

$\dpi{120} \mathrm{log\Bigg(2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}\Bigg) = log\, 2+ log\Bigg(\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}\Bigg)}$

Pela propriedade de radiciação e propriedade do logaritmo de uma potência:

$\dpi{120} =\mathrm{ log\, 2+ \frac{1}{2}\cdot log\Bigg(2\sqrt{2\sqrt{2}}\Bigg)}$

Aplicando, novamente, a propriedade do logaritmo de um produto:

$\dpi{120} =\mathrm{ log\, 2+ \frac{1}{2}log\, 2+\frac{1}{2} log\Bigg(\sqrt{2\sqrt{2}}\Bigg)}$

Seguindo o mesmo procedimento para os termos que ainda estão sob a raiz quadrada:

$\dpi{120} =\mathrm{ log\, 2+ \frac{1}{2}log\, 2+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} log\Bigg(2\sqrt{2}\Bigg)}$

$\dpi{120} =\mathrm{ log\, 2+ \frac{1}{2}log\, 2+ \frac{1}{4} log\, 2+ \frac{1}{4} log(\sqrt{2})}$

$\dpi{120} =\mathrm{ log\, 2+ \frac{1}{2}log\, 2+ \frac{1}{4} log\, 2+ \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}log\, 2}$

$\dpi{120} =\mathrm{ log\, 2+ \frac{1}{2}log\, 2+ \frac{1}{4} log\, 2+ \frac{1}{8}log\, 2}$

$\dpi{120} =\mathrm{ \frac{15}{8}log\, 2}$

Resolução da questão 7

Resolver a seguinte equação significa determinar o valor de x.

$\dpi{120} \mathrm{(x^2 - 5x + 9)\cdot log\, 2+ log\, 125 = 3}$

Pela propriedade da potência de um logaritmo:

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{log\ 2^{(x^2 - 5x + 9)}+ log\, 125 = 3}$

Como $\dpi{120} \mathrm{3 = 3\cdot log_{10}\, 10 = log_{10}\, 10^3 =log\, 1000 }$ , então:

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{log\ 2^{(x^2 - 5x + 9)}+ log\, 125 = log\, 1000}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{log\ 2^{(x^2 - 5x + 9)} = log\, 1000- log\, 125}$

Pela propriedade do quociente de um logaritmo:

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{log\ 2^{(x^2 - 5x + 9)} = log\bigg(\frac{1000}{125} \bigg)}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{log\ 2^{(x^2 - 5x + 9)} = log\, 8}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{log\ 2^{(x^2 - 5x + 9)} = log\, 2^3}$

Como os logaritmos são iguais, então, podemos igualar os expoentes:

$\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow x^2-5x+9 = 3}$

$\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow x^2-5x+6 = 0}$

Essa última equação é uma equação do 2º grau, então, vamos encontrar as suas raízes calculando o discriminante e aplicando a fórmula de Bhaskara.

Obtemos: $\dpi{120} \mathrm{x_1 = 3}$ e $\dpi{120} \mathrm{x_2 = 2}$ , que são as duas possíveis soluções da equação inicial.

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