Triângulo de Pascal

Triângulo de Pascal  é um triângulo formado apenas por números, com propriedades matemáticas importantes e características que chamam a atenção.

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Triângulo de Pascal  é um triângulo formado apenas por números, com propriedades matemáticas importantes e características que chamam a atenção.

Os números das extremidades do triângulo de Pascal são todos iguais a 1 e cada um dos demais números corresponde a soma dos dois números que estão acima.

Triângulo de Pascal

Na figura, é apresentada apenas uma parte do triângulo de Pascal, mas podem ser construídas infinitas linhas de números logo abaixo, pois ele é infinito.

História do triângulo de Pascal

O nome Triângulo de Pascal se deve ao filósofo, físico e matemático francês Blaise Pascal (1623 – 1662), por ter escrito sobre ele em Traité du triangle arithmétique (1654).

Muitas vezes, esse triângulo também é chamado de triângulo de Tartaglia, em menção ao matemático italiano Tartaglia (1500 – 1557), por ter sido um dos primeiros a publicar sobre o triângulo na Europa.

Contudo, o triângulo já era conhecido e suas propriedades eram estudadas por outros matemáticos indianos e chineses tempos antes de Tartaglia e Pascal.

Coeficiente binomial e o triângulo de Pascal

Um coeficiente binomial ou número combinatório possui a seguinte forma:

\dpi{120} C_{n,k}=\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Em que \dpi{120} n e \dpi{120} k são números naturais, com \dpi{120} n\geq k , e \dpi{120} C_{n,k} indica o número de grupos de tamanho \dpi{120} k que podem ser formados com \dpi{120} n elementos.

O símbolo de exclamação (!) indica fatorial, por exemplo, \dpi{120} n! = n.(n-1).(n-2)...1.

Mas o que isso tem a ver com o triângulo de Pascal? O triângulo de Pascal é construído a partir de coeficientes binomiais.

Cada um dos números que formam o triângulo de Pascal é um coeficiente binomial e pode ser obtido a partir dessa fórmula acima.

Construção do triângulo de Pascal

Para construção de cada linha triângulo de Pascal, consideramos os coeficientes binomiais com numerador (número de cima) igual ao número da linha e denominador (número de baixo) variando de zero até o número da linha.

Lembre-se: a primeira linha do triângulo é a linha de número 0 e não número 1.

Considere, por exemplo, construir a 3ª linha do triângulo, o numerador será sempre 3 e o denominador será 0, 1, 2, e 3, formando os seguintes coeficientes binomiais:

\dpi{120} \binom{3}{0}\: \binom{3}{1}\: \binom{3}{2} \: \binom{3}{3}

Então, calculamos cada uma dessas combinações e já temos os valores da 3ª linha do triângulo:

\binom{3}{0} = \frac{3!}{0!(3-0)!} = 1      \binom{3}{1} = \frac{3!}{1!(3-1)!} = 3       \binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3      \binom{3}{3} = \frac{3!}{3!(3-3)!} = 1

Portanto, a 3ª linha do triângulo de Pascal é formada pelos números:

 1    3    3    1

Veja como fica o triângulo escrito em função dos coeficientes binominais:

Coeficientes

Propriedades do triângulo de Pascal

1) O número 1 é o primeiro e último elemento de cada linha.

Como pode ser observado no triângulo de Pascal, os números das extremidades são todos iguais a 1, então, toda linha começa com 1 e termina com 1.

Isso pode ser verificado a partir dos coeficientes binomiais. O primeiro elemento de uma linha \dpi{120} n é \dpi{120} \binom{n}{0} e o último é \dpi{120} \binom{n}{n}. Para qualquer que seja o valor de \dpi{120} n, temos:

\dpi{120} \binom{n}{0}= \frac{n!}{0!(n-0)!} = 1

\dpi{120} \binom{n}{n}= \frac{n!}{n!(n-n)!} = 1

2) Os números da parte interna são obtidos a partir da soma dos dois números de cima.

Essa propriedade também pode ser vista, facilmente, observando o triângulo. A partir dos coeficientes binomiais, ela pode ser constatada da seguinte forma:

\dpi{120} \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} = \binom{n}{k}

3) O triângulo de Pascal é simétrico.

Se o triângulo de Pascal for dividido ao meio, perceberemos que os números de uma parte serão os mesmos da outra, pois ele é simétrico.

Simetria

4) A soma dos elementos da n-ésima linha é igual a \dpi{120} \mathrm{2^n}.

As linhas do triângulo de Pascal são enumeradas, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …, infinitamente.

Se escolhermos a linha 3, por exemplo, veja que a soma dos elementos é 1 + 3 + 3 + 1 = 8 e que \dpi{120} 2^3 = 8.

Isso acontece em qualquer linha do triângulo, então, sem conhecer os elementos da linha 15, podemos dizer que a soma será igual a \dpi{120} 2^{15} = 32.768.

Binômio de Newton e o triângulo de Pascal

O binômio de Newton é uma fórmula que permite calcular potências de binômios da forma \dpi{120} (x+y)^n, com \dpi{120} n sendo um número natural.

\dpi{120} \small (x+y)^n = \binom{n}{0}x^ny^0 + \binom{n}{1}x^{n-1}y^1 + \binom{n}{2}x^{n-2}y^2+... + \binom{n}{n}x^0y^n

Se atribuirmos valores para \dpi{120} n e aplicarmos a fórmula, poderemos ver que os coeficientes binomiais são os mesmos números do triângulo de Pascal:

(x + y)^0 = \mathbf{1}

(x + y)^1 = \mathbf{1}x + \mathbf{1}y

(x + y)^2 = \mathbf{1}x^2 + \mathbf{2}xy +\mathbf{1}y^2

(x + y)^3 = \mathbf{1}x^3 + \mathbf{3}x^2y + \mathbf{3}xy^2 +\mathbf{1}y^3

(x +y)^4 = \mathbf{1}x^4 + \boldsymbol{4}x^3y + \boldsymbol{6}x^2y^2 +\boldsymbol{4}xy^3 +\mathbf{1}y^4

\dpi{120} \vdots

Triângulo de Sierpinski e o triângulo de Pascal

Quando os números pares e ímpares do triângulo de Pascal são diferenciados com cores, a figura obtida é muito semelhante ao Triângulo de Sierpinski, que é um tipo de fractal, uma figura geométrica com padrão de repetição infinito.

Sierpinski

Triângulo de Sierpinski.

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