Lista de exercícios de trigonometria

Elaboramos uma lista de exercícios de trigonometria, todos com resolução. Confira e aprenda mais sobre esse assunto!

Por Elainy Marciano Publicado em 31/07/2020 - 21:10

Trigonometria é a parte da matemática que estuda as relações entre os ângulos e os lados dos triângulos.

São diversas fórmulas, relações, teoremas e tabelas que fazem parte dos estudos de trigonometria, o que costuma causar um pouco de confusão na hora de resolver exercícios.

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Pensando nisso, elaboramos uma lista de exercícios de trigonometria, todos com resolução, para que você possa tirar suas dúvidas sobre esse assunto!

Lista de exercícios de trigonometria

Questão 1. Calcule a altura de uma árvore, sabendo que se nos afastarmos 8 metros do tronco vemos o topo da árvore a partir de um ângulo de 30°.

Questão 2. Determine a medida do lado $\dpi{120} a$ e as medidas dos ângulos $\dpi{120} \alpha$ e $\dpi{120} \beta$ no triângulo abaixo:

Questão 3. Calcule o valor do seno, cosseno e tangente do ângulo -120°.

Questão 4. Calcule o valor do seno, cosseno e tangente do ângulo 225°.

Questão 5. Mostre que, dado um ângulo $\dpi{120} \alpha$ , a soma da tangente e a cotangente é igual ao produto da secante e a cossecante: $\dpi{120} tan\: \alpha + cot \, \alpha = sec \, \alpha\cdot csc \, \alpha$

Resolução da questão 1

Pelas razões trigonométricas, temos que:

$\dpi{120} seno \, 30^{\circ}= \frac{cateto\, oposto}{hipotenusa} = \frac{b}{a}$

$\dpi{120} b = a\cdot seno \, 30^{\circ}$

Precisamos da hipotenusa ( $\dpi{120} a$ ) para descobrir o valor da altura $\dpi{120} b$ . Como sabemos o valor do cateto adjacente ao ângulo de 30°, vamos utilizar a seguinte razão:

$\dpi{120} cosseno \, 30^{\circ}= \frac{cateto\, adjacente}{hipotenusa} = \frac{8}{a}$

$\dpi{120} \Rightarrow a = \frac{8}{cosseno \, 30^{\circ}}$

A partir de uma tabela de ângulos notáveis ou em uma tabela trigonométrica, podemos verificar que cosseno de 30° é igual a $\dpi{120} \sqrt{3}/2$ . Assim:

$\dpi{120} a = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\dpi{120} \Rightarrow a = \frac{16}{\sqrt{3}} = 9, 23$

Agora que já sabemos o valor da hipotenusa, já podemos calcular a altura:

$\dpi{120} b = a\cdot seno \, 30^{\circ}$

$\dpi{120} \Rightarrow b = 9,23\cdot seno \, 30^{\circ}$

Seno de 30° é igual a $\dpi{120} 1/2$ , então:

$\dpi{120} \Rightarrow b = 9,23\cdot \frac{1}{2} = 4,61$

Portanto, a altura da árvore é igual a 4,61 metros.

Resolução da questão 2

Por se tratar de um triângulo retângulo e conhecermos a medida de dois lados, podemos utilizar o teorema de Pitágoras para determinar a medida do lado $\dpi{120} a$ , que corresponde a hipotenusa do triângulo.

$\dpi{120} a^2 = b^2 + c^2$

$\dpi{120} \Rightarrow a^2 = 3^2 + (4,3)^2$

$\dpi{120} \Rightarrow a^2 = 27,49$

$\dpi{120} \Rightarrow a = 5,24$

Agora, podemos encontrar as medidas dos ângulos utilizando as razões trigonométricas (pode ser o seno ou o cosseno):

$\dpi{120} seno \, \alpha= \frac{4,3}{5,24} \Rightarrow seno\, \alpha = 0,82\Rightarrow \alpha = seno^{-1}(0,82) = 55,08$

$\dpi{120} seno \, \beta= \frac{3}{5,24} \Rightarrow seno \, \beta=0,57\Rightarrow \beta = seno^{-1}(0,57) = 34,75$

Portanto, temos $\dpi{120} a = 5,24 cm$ , $\dpi{120} \alpha = 55,08^{\circ}$ e $\dpi{120} \beta = 34,75^{\circ}$ .

Resolução da questão 3

Temos que:

$\dpi{120} seno\: (-x) = -seno (x)$

$\dpi{120} cosseno\: (-x) = cosseno (x)$

$\dpi{120} tangente\: (-x) = -tangente (x)$

Considerando essas relações e o fato de que 120° = 180° – 60°, então:

$\dpi{120} seno\: (-120^{\circ}) = -seno (180^{\circ} - 60^{\circ})$

$\dpi{120} cosseno\: (-120^{\circ}) = cosseno (180^{\circ} - 60^{\circ})$

$\dpi{120} tangente\: (-120^{\circ}) = -tangente (180^{\circ} - 60^{\circ})$

Agora, utilizando as relações trigonométricas entre os valores das funções de ângulos suplementares e sabendo que seno 60° = $\dpi{120} \sqrt{3}/2$ ,cosseno 60° = 1/2 e tangente 60° = seno 60°/cosseno 60°, temos que:

$\dpi{120} seno\: (-120^{\circ}) = -seno (180^{\circ} - 60^{\circ}) = -seno (60^{\circ}) = -\sqrt{3}/2$

$\dpi{120} cosseno\: (-120^{\circ}) = cosseno (180^{\circ} - 60^{\circ}) = - cosseno (60^{\circ}) = -1/2$

$\dpi{120} tangente\: (-120^{\circ}) = -tangente (180^{\circ} - 60^{\circ}) = - tangente (60^{\circ}) = -\sqrt{3}$

Resolução da questão 4

Considerando o fato de que 225° = 180° + 45° e as relações vistas no exercício anterior, temos que:

$\dpi{120} seno\: (225^{\circ}) = seno (180^{\circ} + 45^{\circ}) = seno(-45^{\circ}) = -seno(45^{\circ})$

$\dpi{120} cosseno\: (225^{\circ}) = cosseno (180^{\circ} + 45^{\circ}) = -cosseno(-45^{\circ}) = -cosseno(45^{\circ})$

$\dpi{120} tangente\: (225^{\circ}) = tangente (180^{\circ} + 45^{\circ}) = -tangente(-45^{\circ}) = tangente(45^{\circ})$

Sabendo que seno 45° = cosseno 45° = $\dpi{120} \sqrt{2}/2$ e tangente 45° = seno 45°/cosseno 45°, temos que:

$\dpi{120} seno(225^{\circ}) = -\sqrt{2}/2$

$\dpi{120} cosseno(225^{\circ}) = -\sqrt{2}/2$

$\dpi{120} tangente(225^{\circ}) = 1$

Resolução da questão 5

Como $\dpi{120} tan \, \alpha = \frac{sen\, \alpha}{cos\, \alpha}$ e $\dpi{120} cot \, \alpha = \frac{cos\, \alpha}{sen\, \alpha}$ , então:

$\dpi{120} tan\: \alpha + cot \, \alpha = \frac{sen\, \alpha}{cos\, \alpha} + \frac{cos \, \alpha}{sen \, \alpha}$

Extraindo o MMC, temos que:

$\dpi{120} tan\: \alpha + cot \, \alpha = \frac{sen^2\, \alpha + cos^2\, \alpha }{cos\, \alpha \cdot sen\, \alpha }$

Considerando a relação fundamental $\dpi{120} sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1$ , temos que:

$\dpi{120} tan\: \alpha + cot \, \alpha = \frac{1 }{cos\, \alpha \cdot sen\, \alpha }$

Como $\dpi{120} \frac{1}{cos\, \alpha\cdot sen\, \alpha} = \frac{1}{cos\, \alpha} \cdot \frac{1}{sen\, \alpha} = sec \, \alpha\cdot csc \, \alpha$ , então:

$\dpi{120} tan\: \alpha + cot \, \alpha = sec \, \alpha\cdot csc \, \alpha$

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