Triângulo retângulo

Aprenda sobre o triângulo retângulo e suas propriedades: ângulos, área e perímetro e relações entre lados e ângulos (teorema de Pitágoras e relações trigonométricas).

Por Elainy Marciano Publicado em 15/07/2020 - 16:58

Um triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um ângulo que mede 90°. Os outros dois ângulos do triângulo retângulo são agudos, medem menos que 90°.

No triângulo retângulo, os lados têm nomes específicos. O maior lado, que é o lado oposto ao ângulo de 90°, é chamado de hipotenusa. Os outros dois lados são chamados catetos.

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O triângulo retângulo possui características importantes, como a relação que existe entre as medidas dos seus lados, que permite determinar a medida de um dos lados quando são conhecidos os outros dois.

Por isso, que tal entender mais as principais propriedades do triângulo retângulo?

Ângulos do triângulo retângulo

Um triângulo retângulo sempre possui um ângulo de 90°. Como em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é igual a 180°, então, os outros dois ângulos devem somar 90°.

$\dpi{120} \alpha + \beta = 90^{\circ}$

Isso significa que além do ângulo reto, os outros dois ângulos do triângulo retângulo são ângulos agudos, cada um deve ter medida maior que 0° e menor que 90°.

Exemplo: Um triângulo retângulo possui um ângulo de 30°. Determine a medida dos outros dois ângulos.

Já sabemos que um dos ângulos é reto, mede 90°. Como os outros dois devem somar 90° e um deles mede 30°, então, o terceiro ângulo deve medir 60°.

Portanto, os outros dois ângulos medem 90° e 60°.

Área e perímetro do triângulo retângulo

O perímetro de um triângulo corresponde a soma dos seus três lados. Assim, o perímetro do triângulo retângulo é dado pela soma da hipotenusa e dos catetos, ou seja:

$\dpi{120} P = a+ b+ c$

Em que:
$\dpi{120} a$ : hipotenusa
$\dpi{120} b \: \mathrm{e}\: c$ : catetos

Para determinar a área do triângulo, basta multiplicar a medida da base pela altura e depois dividir por 2.

$\dpi{120} A = \frac{base \times altura}{2}$

Observe que a base de um triângulo retângulo é um dos catetos e a altura, o outro cateto. Assim, a área do triângulo retângulo é:

$\dpi{120} A = \frac{b \times c}{2}$

Em que $\dpi{120} b \: \mathrm{e}\: c$ são os catetos do triângulo.

Para saber mais sobre área e perímetro, leia nossos textos:

Exemplo: Calcule o perímetro e a área de um triângulo retângulo com hipotenusa igual a 5 cm e catetos iguais a 3 cm e 4 cm.

Somando os três lados, temos o perímetro:

$\dpi{120} P = 5+ 3+ 4 = 12$

Multiplicando os catetos e dividindo por 2, temos a área:

$\dpi{120} A = \frac{3 \times 4}{2} = 6$

Portanto, o perímetro é de 12 cm e a área de 6 cm².

Teorema de Pitágoras

Existe uma importante relação entre os lados do triângulo retângulo, mais conhecida como teorema de Pitágoras.

O teorema de Pitágoras nos diz que, em um triângulo retângulo, a hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos, isto é:

$\dpi{120} a^2 = b^2 + c^2$

Em que:
$\dpi{120} a$ : hipotenusa
$\dpi{120} b \: \mathrm{e}\: c$ : catetos

A partir dessa relação, é possível determinar a medida do terceiro lado do triângulo quando são conhecidos os outros dois lados.

Para saber mais, leia nossos textos:

Trigonometria no triângulo retângulo

Além do teorema de Pitágoras, também existem relações entre as medidas dos lados e os ângulos de um triângulo retângulo. A trigonometria é a parte da matemática que estuda essas relações.

A principais relações trigonométricas no triângulo retângulo são: seno, cosseno e tangente.

$\dpi{120} seno = \frac{cateto\: oposto}{hipotenusa}$

$\dpi{120} cosseno = \frac{cateto \, adjacente}{hipotenusa}$

$\dpi{120} tangente = \frac{cateto\: oposto}{cateto\: adjacente}$

A hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo, que é aquele que está de frente para o ângulo de 90 graus. Já os catetos variam de acordo com o ângulo considerado ( $\dpi{120} \alpha$ ou $\dpi{120} \beta$ ).

O cateto oposto é o cateto que está de frente para o ângulo e o cateto adjacente é o que está ao lado do ângulo.

Exemplo: Considerando que o ângulo $\dpi{120} \alpha$ mede 30°, determine o valor de x no triângulo abaixo:

Na figura, o lado conhecido mede 8 unidades. Esse lado é o cateto oposto ao ângulo $\dpi{120} \alpha$ . Portanto, vamos utilizar a relação entre o seno de $\dpi{120} \alpha$ e os lados do triângulo.

$\dpi{120} seno \: \alpha = \frac{cateto\: oposto}{hipotenusa} \Rightarrow seno \: 30^{\circ} = \frac{8}{x} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{8}{x}$

Multiplicando cruzado, temos que:

$\dpi{120} x = 16$

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