Lista de exercícios sobre planificação de sólidos geométricos

Confira uma lista de exercícios resolvidos e tire suas dúvidas sobre planificação de sólidos geométricos (figuras espaciais).

A planificação de sólidos geométricos permite visualizar as figuras geométricas planas que formam suas superfícies. Dessa forma, podemos obter a área total da superfície do sólido geométrico.

A seguir, veja uma lista de exercícios sobre planificação de sólidos geométricos, todos com a resolução completa, para que você possa tirar suas dúvidas e aprender mais!

Exercícios sobre planificação de sólidos geométricos


Questão 1. Mostre que a área total do cubo de aresta a é dada por:

\dpi{120} \mathrm{A_t = 6a^2}


Questão 2. Calcule a área de um cubo cuja aresta mede 10 cm.


Questão 3. Mostre que a área total do paralelepípedo retângulo de comprimento a, largura b e altura c, é dada por:

\dpi{120} \mathrm{A_t = 2\cdot(ab + ac + bc)}


Questão 4. Calcule a área total de um paralelepípedo retângulo de dimensões 8 m, 6 m e 1,5 m.


Questão 5. Mostre que a área total de um cilindro de altura h e raio da base igual a r, é dada por:

\dpi{120} \mathrm{A_t=2\pi r\cdot (r +h)}


Questão 6. Determine a área total de cilindro de altura 15 cm e raio da base igual a 6 cm.


Questão 7. Mostre que a área total de um cone de geratriz g e raio da base igual a r é dada por:

\dpi{120} \mathrm{A_t = \pi r\cdot (r+g)}


Questão 8. Calcule a área total de um cone cuja geratriz mede 9 cm e o raio da base é igual a 4 cm.


Resolução da questão 1

A área total do cubo é dada pela soma das áreas das suas faces.

No total, o cubo tem 6 faces e cada face é um quadrado de lado igual à medida da aresta. Assim, para obter a área total do cubo, basta calcular a área de um só desses quadrados e multiplicar por 6, que é o total de faces.

\dpi{120} \mathrm{A_t = 6\cdot A_{Quadrado}}

A área do quadrado de lado a (medida da aresta) é dada por:

\dpi{120} \mathrm{A_{Quadrado} = a^2}

Portanto, a área total do cubo é dada por:

\dpi{120} \mathrm{A_t = 6a^2}

Resolução da questão 2

Temos a = 10 cm. Vamos substituir esse valor na fórmula da área total do cubo:

\dpi{120} \mathrm{A_t = 6a^2 = 6\cdot 10^2 = 6\cdot 100 = 600}

Portanto, a área total do cubo é igual a 600 cm².

Resolução da questão 3

A área total do paralelepípedo retângulo é dada pela soma das áreas de suas faces.

No total, o paralelepípedo retângulo tem 6 faces, e todas elas são retângulos cujas medidas dependem das dimensões do paralelepípedo.

A partir da planificação, podemos ter uma ideia melhor das faces dessa figura geométrica:

Planificação do paralelepípedo

A área de um retângulo qualquer é dada pela seguinte fórmula:

\dpi{120} \mathrm{A_{Ret\hat{a}ngulo} = base\cdot altura}

Assim, no paralelepípedo, temos dois retângulos de área ab, dois retângulos de área bc e dois retângulos de área ac, conforme pode ser visto na figura.

Portanto, a área total do paralelepípedo retângulo é:

\dpi{120} \mathrm{A_t = 2ab + 2ac + 2bc}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{A_t = 2\cdot(ab + ac + bc)}

Resolução da questão 4

Temos a = 8 m, b = 6 m e c = 1,5 m. Vamos substituir esses valores na fórmula da área total do paralelepípedo retângulo:

\dpi{120} \mathrm{A_t = 2\cdot(ab + ac + bc)}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{A_t = 2\cdot(8.6 + 8.1,5 + 6.1,5)}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{A_t = 2\cdot(48 + 12 + 9)}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{A_t = 2\cdot69}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{A_t = 138}

Portanto, a área total do paralelepípedo é igual a 138 m².

Resolução da questão 5

Para calcular a área do total do cilindro, precisamos saber quais são as figuras planas que o formam, pois a sua área total será dada pela soma das áreas de cada uma dessas figuras.

A partir da planificação do cilindro, podemos ver que ele é formado por três figuras geométricas planas: dois círculos e um paralelogramo.

Planificação de um cilindro

Então, a área total do cilindro é dada por:

\dpi{120} \mathrm{A_t = 2\cdot A_{Circulo} + A_{Paralelogramo}}

A área do círculo é dada por:

\dpi{120} \mathrm{A_{Circulo} = \pi r^2}

E a área do paralelogramo é dada por:

\dpi{120} \mathrm{A_{paralelogramo} = base\cdot altura = 2 \pi r\cdot h}

No círculo de raio r, o comprimento é dado por 2πr, por isso, a medida da base do paralelogramo é 2πr, como pode ser visto na figura.

Então, a área total do cilindro é dada por:

\dpi{120} \mathrm{A_t = 2\pi r^2 +2 \pi rh}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{A_t = 2\pi r\cdot (r + h)}

Resolução da questão 6

Temos h = 15 cm e r = 6 cm. Vamos substituir esses valores na fórmula da área total do cilindro:

\dpi{120} \mathrm{A_t = 2\pi r\cdot (r + h)}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{A_t = 2\pi 6\cdot (6 + 15)}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{A_t = 252\pi }

Considerando π = 3.14, a área do total do cilindro é igual a 791,28 cm².

Resolução da questão 7

Para calcular a área total do cone, devemos saber quais as figuras planas que o formam. A área total será dada pela soma das áreas de cada uma dessas figuras.

A partir da planificação do cone, podemos ver que ele é formado por um setor circular e um círculo.

planificação de um cone - cone aberto

Então, a área total do cone é dada por:

\dpi{120} \mathrm{A_t = A_{setor\, circular} + A_{circulo}}

A área do setor circular, em função do seu comprimento, é dada por:

\dpi{120} \mathrm{A_{setor\, circular} = \frac{Comprimento\cdot Raio}{2}}

Na figura, podemos ver que o raio do setor circular é igual à geratriz g e o comprimento é 2πr. Então:

\dpi{120} \mathrm{A_{setor\, circular} = \frac{\cancel{2} \pi r\cdot g}{\cancel{2}} = \pi rg}

A área do círculo é dada por:

\dpi{120} \mathrm{A_{Circulo} = \pi r^2}

Portanto, a área total do cone é dada por:

\dpi{120} \mathrm{A_t = \pi rg + \pi r^2}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{A_t = \pi r\cdot (g+r)}

Resolução da questão 8

Temos g = 9 cm e r = 4 cm. Vamos substituir esses valores na fórmula da área total do cone:

\dpi{120} \mathrm{A_t = \pi r\cdot (g+r)}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{A_t = 4\pi\cdot (9+4)}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{A_t = 52\pi}

Considerando π = 3,14, a área total do cone é igual a 163,28 cm².

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